關于橢圓中焦點三角形的幾個問題的討論

【摘要】文章對橢圓中△PF1F2的形狀、∠F1PF2的范圍、∠F1PF2的余弦值的最小值及△PF1F2的面積的最大值進行了討論.

【關鍵詞】焦點三角形；直角三角形；直角；鈍角；銳角

在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，以兩個焦點F1，F2及其上任意一點P（長軸的兩個端點除外）為頂點的△PF1F2叫橢圓的焦點三角形.由橢圓的第一定義知△PF1F2的三邊滿足|PF1+PF2|=2a(2a>2c)，|F1F2|=2c(c>0).下面就橢圓中焦點三角形的幾個問題進行討論：

一、焦點三角形是直角三角形的個數

在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，

(1)當b>c時，在所有焦點三角形中有4個是直角三角形，過焦點F1或F2，作x軸的垂線與橢圓的交點即為頂點P，焦點F1或F2為直角頂點.以原點O為圓心，半徑為c的圓在橢圓的內部與橢圓無交點，故∠F1PF2是銳角.

(2)當b=c時，在所有焦點三角形中有6個是直角三角形，其中4個同（1）.另外兩個的直角頂點P分別是短軸的兩個端點，因為以原點O為圓心，半徑為c的圓在橢圓的內部與橢圓相切于短軸的兩個端點，故∠F1PF2是直角.

(3)當b

二、焦點△PF1F2中cos∠F1PF2的最小值及△PF1F2的面積的最大值

在△PF1F2中，由余弦定理，得

cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|#8226;|PF2|

=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|#8226;|PF2|-|F1F2|22|PF1|#8226;|PF2|

=4a2-2|PF1|#8226;|PF2|-4c22|PF1|#8226;|PF2|

=2a2-2c2|PF1|#8226;|PF2|-1.



又 |PF1|+|PF2|=2a，由均值不等式，得

|PF1|#8226;|PF2|≤2a22=a2(當且僅當|PF1|=|PF2|=a時，等號成立).

于是(cos∠F1PF2)min=2a2-2c2a2-1=a2-2c2a2=1-2e2.

因cos∠F1PF2取最小值時，|PF1|=|PF2|=a，即點P是橢圓的短軸的端點.

此時，焦點△PF1F2的面積有最大值，即S△PF1F2=bc.

三、焦點△PF1F2中∠F1PF2的取值范圍與點P的橫坐標的關系

已知點P(x，y)(-ab>0)上.

下面給出兩種方法來討論：

1運用以焦距為直徑的圓與橢圓的位置關系

以橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距|F1F2|=2c(c>0)為直徑作圓O：x2+y2=c2，則

(1)當c

(2)當c=b時，圓O在橢圓的內部與橢圓相切于短軸的兩個端點，故當x=0時，∠F1PF2是直角；x∈(-a，0)∪(0，a)時，∠F1PF2是銳角.

(3)當c>b時，圓O與橢圓有四個交點.因為圓的方程為x2+y2=c2，于是由方程組x2+y2=c2，x2a2+y2b2=1，消去y，得關于x的方程：

1a2-1b2x2=1-c2b2，解得x=±ac2-b2c，

即x=±c2-b2e.

于是，當x=±ac2-b2e時，∠F1PF2是直角；

當x∈-a，-c2-b2e∪c2-b2e，a時，∠F1PF2是銳角；

當x∈-c2-b2e，c2-b2e時，∠F1PF2是鈍角.

2運用焦半徑公式和余弦定理

在△PF1F2中，由余弦定理，得

cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|#8226;|PF2|.

于是，當|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2<0時，∠F1PF2是鈍角；當|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=0時，∠F1PF2是直角；當|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2>0時，∠F1PF2是銳角.

因為|PF1|=a+ex，|PF2|=a-ex，|F1F2|=2c，所以|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=(a+ex)2+(a-ex)2-4c2=2e2x2+2a2-4c2.于是，

(1)當c0，得x∈R，-a

(2)當c=b時，由2e2x2+2a2-4c2=0，得x=0，即x=0時，∠F1PF2是直角.由2e2x2+2a2-4c2>0，得x<0或x>0，即x∈(-a，0)∪(0，a)時，∠F1PF2是銳角；

(3)當c>b時，2e2x2+2a2-4c2>0，得x<-c2-b2e或x>c2-b2e，即x∈-a，-c2-b2e∪c2-b2e，a時，∠F1PF2是銳角.

由2e2x2+2a2-4c2=0，得x=±ac2-b2e，

即x=±ac2-b2e時，∠F1PF2是直角.

由2e2x2+2a2-4c2<0，得-c2-b2e

即x∈-c2-b2e，c2-b2e時，∠F1PF2是鈍角.