正交化二次型為標準形的三種方法討論

【摘要】二次型是高等代數的重要內容之一，化二次型為標準形在很多領域有著重要的意義，而正交化二次型為標準形有著非奇異變換所不具備的特別的優勢.文章通過一個具體問題全面概述了正交化二次型為標準形的三種方法，即Schimidt正交化方法、正交線性替換法、初等變換法，并且深刻闡述了后兩種方法的內在聯系與區別.其理論依據充分，方法具體，例子鮮明.

【關鍵詞】對稱矩陣；標準形；初等變換；正交線性替換

例 通過正交線性變換化二次型f(x1，x2，x3)=4x21+4x22+4x23+4x1x2+4x1x3+4x2x3為標準形式.其中，二次型的矩陣為A=422242224 .

一、施密特正交化方法

由參考文獻［1］的思想，Schimidt正交化方法解題過程如下：

先求特征值:|λE-A|=λ-4-2-2-2λ-4-2-2-2λ-4-2-2λ-4=(λ-2)2(λ-8)，得λ1=2（二重），λ2=8.對每個特征值λi，解線性方程組(λiE-A)X=0，求出一組基礎解系，正交化，再單位化.對λ1=2，解得Vλ1的一組基α1=(-1，1，0)，α2=(-1，0，1)，再正交化，β1=(-1，1，0)，β2=-12，-12，1.對λ2=8，解得Vλ2的一組基α3=(1，1，1).再對它們單位化，得γ1=-12，12，0，γ2=-16，-16，26，γ3=13，13，13.從而T=-12-161312-161302613即為所求的正交矩陣，且使T′AT=T-1AT=diag(2，2，8).

二、正交線性替換法

用正交線性變換將實二次型化為標準形，關鍵是求出正交矩陣即可，在求正交矩陣時一般采用的方法是“Schimidt正交化方法”，現在我們借助于Cramer矩陣及合同變換來求正交矩陣.

設α1，α2，…，αn為n維歐式空間V的一組基，則其Cramer矩陣為G=(α1，α1)…(α1，αn)(αn，α1)…(αn，αn)，G顯然為正定矩陣，從而G合同于單位矩陣E，即存在可逆矩陣P，使得P′GP=E，作V的一個新基：(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，αn)P，則新基β1，β2，…，βn的Cramer矩陣為H=P′GP=E，所以，β1，β2，…，βn為n維歐式空間V的標準正交基.對于上例：α1，α2，α3作為R3的基，其Cramer矩陣為G=210120003，作矩陣(G E)，且進行合同變換(G E)=2101001200100030011001200010-162600010013，取可逆陣P′=1200-162600013，則P=12-16002600013，作新基(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)P，得β1=0，-12，12，β2=-16，-16，26，β3=13，13，13，由上面的討論知β1，β2，β3為R3的標準正交基，所以T=(β1，β2，β3)為正交矩陣，且有T′AT=T-1AT=diag(2，2，8).

三、矩陣的初等變換法

設F(λ)=|λE-A|，且F(λ)E初等列變換B(λ)P(λ)，其中B(λ)為下三角矩陣，則B(λ)的主對角線上的全部元素乘積所構成的λ多項式的根正好為矩陣A的特征根，對于矩陣A的每一特征根λi，若矩陣B(λ)中非零向量的列構成列滿秩矩陣，那么矩陣P(λi)中和B(λi)中零向量所對應的列向量是屬于特征根λi的全部線性無關的特征向量；否則繼續B(λi)A(λi)列初等變換B*(λi)P*(λi)使得B*(λi)中非零向量的列構成列滿秩矩陣，那么P*(λi)中和B*(λi)中零向量對應的列向量是屬于特征根λi的全部線性無關的特征向量.

設所求出的特征向量α11…α1k1…αs1…αsks，顯然它是一組線性無關的向量，以αij為列向量構成矩陣B=(αij)，則B′B是一個n階正定矩陣，必與單位矩陣合同，即存在n階可逆矩陣Q，使得Q′(B′B)Q=E……(1)，即(Q′B′)(BQ)=E……(2).

(1)式說明：對矩陣B′B施行一系列的列初等變換（相應的初等矩陣的乘積為Q）及一系列的行初等變換（相應的初等矩陣的乘積為Q′），可化為單位矩陣；(2)式說明：BQ的列向量組是一個標準正交基，BQ可以通過對矩陣B施行與對矩陣B′B所施行的相同的初等變換求出.

于是得到求正交矩陣的初等變換法Q′B′BBQ→EBQ對B′B施行合同變換，對B施行行初等變換.實際上將B′B化為E，可先用1a11分別乘以a11所在的行和列使a11變成1；再施以列初等變換把a11所在行其他元素化為0，又施以行初等變換把a1所在列的其他元素化為0，按此法，依次把a22…，…ann變為1，其他元素變為0，那么矩陣BQ即為所求的矩陣P，且P′AP為對角陣，其中主對角線上元素λ1…λik1…，λl…λsks.如上例：當λ1=2時，B(λ1)P(λ1)=1110-1200000-1100011-2T，則α1=(0，-1，1)，α2=(1，1，-2)，即為(λ1E-A)X=0的一組基礎解系.當λ2=8時，B(λ2)P(λ2)=1-210-1200-600-11000111T，則α3=(1，1，1)為(λ2E-A)X=0的一組基礎解系.故B=011-1111-21，B′B=2-30-360003，B′BB合同變換1000-12120102626-16001131313T.

從而T=02613-12-161312-1613即為所求，且使T′AT=T-1AT=diag(2，2，8).

各種方法優缺點總結

二次型的標準形就是一種坐標變換的對角化，正交變換后標準形的系數恰好為特征值，正交變換保持向量的長度不變，保持兩個向量的夾角不變，有些像剛體，實質上是做一個旋轉，將二次型化到主軸上，而非奇異變換不存在這樣的特點.

在作正交變換時，Schimidt正交化過程當矩陣階數較大時計算麻煩，且不容易記憶，而正交線性替換法與矩陣的初等變換法省去了正交化過程，其中正交線性替換法借助于歐氏空間中的基變換，計算過程較容易，而初等變換法用到了解線性方程組與矩陣的合同變換的方法.事實上正交線性替換法里的矩陣G與初等變換法里的B′B是相似矩陣，只要取的基相同，G與B′B是完全相同的.

【參考文獻】

［1］王萼芳.高等代數(第3版)［M］.高等教育出版社，2003.

［2］劉學鵬.概論化二次型為標準形的四種方法［J］.高等理科教育，2005（5）：104-107.

［3］朱前永.關于化二次型為標準形的相似變換方法的討論［J］.吉林化工學院學報，2004(3).