產品壽命試驗的損傷失效率數學模型

【摘要】文章從產品壽命是衡量質量的重要指標入手，通過三種方法來闡述產品壽命試驗的損傷失效率的數學模型.在分析過程中，將產品壽命假定為服從幾何分布，借助相應的概率論與數理統計知識，將在步加試驗中，對服從幾何分布的產品壽命的損傷失效率數學模型中的相關參數做出極大似然估計，最后通過一個簡單的例題加以印證.

【關鍵詞】損傷失效率；數學模型；步加試驗；損傷因子；極大似然估計

一、產品壽命試驗的損傷失效率數學模型

隨著我國經濟融入全球經濟一體化進程，產品質量成為衡量商品進出口的重要指標.為提高我國產品與服務質量的總體水平，推動中國制造走向世界，為我國經濟全面、協調、可持續發展，我國產品質量協會始終不渝地堅持服務政府、服務社會、服務企業和廣大消費者（用戶）的宗旨.而壽命是衡量產品質量好壞的一個重要指標.

產品進行壽命試驗，就目前情況來看，一般有三種不同的試驗方法：第一種稱恒定應加速壽命試驗（簡稱恒加試驗），指的是產品在進行試驗的過程中應力保持不變；第二種稱為步進應力加速壽命試驗（簡稱步加試驗），指的是產品在試驗過程中，應力呈階梯狀上升；第三種稱為序進應力加速壽命試驗（簡稱序加試驗），指的是產品在進行試驗過程中，應力則是連續上升的（通常是指線性上升），它是一種加于受試產品上的應力隨時間連續增加的一種壽命試驗，試驗一直持續到某一固定時間或受試產品有部分或全部失效為止.對于恒加試驗，當應力水平較低時，試驗需要的時間較長.而步加試驗和序加試驗卻能縮短試驗時間，節省大量人力、物力和財力.本文以步加試驗產品壽命來加以研究.

在步加試驗中，設S1

損傷失效率數學模型，考慮的是一批產品在步進應力加速試驗下，從時刻t=0開始直到一個固定的時刻t1都遭受到一個應力S1，在時刻t1未失效的產品受到應力S2(>S1)，且試驗到產品都失效為止.假設這種應力變化的結果是導致開始時失效率函數λ1(y)乘上與變化點t1有關的一個未知因子α(>1).記步進應力壽命時間Y*的失效函數為λ*(y)，所提議的損傷失效率數學模型為：

λ*(y)=λ1(y)，當y≤t1時，αλ1(y)，當y>t1時.

因子α將由S1和S2確定，而且有可能和時間t1也有關.于是α一般記為α(t1)，在此稱為損傷因子.

二、幾何分布產品壽命試驗損傷失效率數學模型下的統計分析

設應力S1下產品壽命服從參數為p的幾何分布，即P(X=k)=pqk-1，k=1，2，3，….

在應力S1下將n個產品投入試驗，試驗進行到第k0次后將應力提高到S2(>S1)繼續做試驗，試驗持續到所有產品均失效為止.在應力S1下有r個產品失效，其次序失效時間為X(1)≤X(2)≤…≤X(r).

在應力S2下有n-r個產品失效，其次序失效“時間”（從0算起）X(r+1)≤X(r+2)≤…≤X(n)，而X(r)≤k0

在應力S1下產品的失效率

λ1(k)=P(X=k)P(X≥k)=pqk-1∑∞l=kpql-1=qk-1qk-11-q=p.

當在k0時應力從S1提高到S2，此時，假定產品失效率服從損傷籌集資金率（TFR）模型，也即失效率λ(k)=αλ1(k)=αp，k>k0.

而其中損傷因子α>1，其值將由S1和S2確定，而且有可能和“時間k0”也有關，在此α也可記作α(k0).

當k≥k0+1時，P(X=k)=αpP(X≥k)=αpP(X=k)+αpP(X≥k+1)，即(1-αp)P(X=k)=αpP(X≥k+1).

也即P(X=k)=αp1-αpP(X≥k+1)

=αp1-αp［P(X=k+1)+P(X≥k+2)］

=αp1-αpαp1-αpP(X≥k+2)+P(X≥k+2)

=αp(1-αp)2P(X≥k+2).



由此，一般地，對K≥k≥k0+1，有

P(X=k)=αp(1-αp)K-kP(X≥K).

從而有P(X=k)=αp(1-αp)kP(X≥K)(1-αp)K，K≥k≥k0+1.

令θ=limK→∞P(X≥K)(1-αp)K（θ應為α，p和k0的函數）.

又由于P(X≥k0)=1-P(X≤k0)=1-∑k0i=1pqi-1=qk0，

由此得θ=(1-p)k0(1-αp)k0+1.對k≥k0+1，有

P(X=k)=αp(1-αp)k(1-p)k0(1-αp)k0+1

=αp(1-p)k0(1-αp)k-k0-1.



特別地，P(X=k0+1)=αp(1-p)k0.

值得一提的是，若k0→0，此時可看作產品一開始便在應力S2下做試驗，于是有：

P(X=k)=limk0→0［α(k0)p(1-p)k0(1-α(k0)p)k-k0-1］

=α(0)p(1-α(0)p)k-1.



也就是說在恒應力S2下產品壽命仍服從幾何分布，其參數為α(0)p.下面研究參數的極大似然估計：

似然函數為：（其中A為下常數）

L［α，p］=A∏ri=1［pqx(i)-1］∏ni=r+1［αp(1-p)x0#8226; (1-αp)x(j)-k0-1］

=Apr(1-p)∑ri=1x(i)-rαn-rpn-r(1-p)k0(n-r)#8226; (1-αp)∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r)

=Apn(1-p)∑ri=1x(i)-rαn-r(1-p)k0(n-r)#8226; (1-αp)∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r).



lnL［α，p］=lnA+nlnp+∑ri=1x(i)+k0n-(k0+1)r#8226; ln(1-p)+(n-r)lnα+ ∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r)ln(1-αp).



lnL［α，p］α=n-rα-p∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)1-αp.

lnL［α，p］p=np-∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p-

α∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)1-αp.

令lnL［α，p］α=0，lnL［α，p］p=0，

化簡得α1-αp∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)=n-rp，

np-∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p-n-rp=0，

rp=∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p，

r-rp=p∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r，

r=p∑ri=1x(i)+(n-r)k0.

由此參數p的極大似然估計為：

=r∑ri=1x(i)+(n-r)k0.

又由于1-αpαp

=∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)n-r

1αp=∑nj=r+1x(j)-(n-r)k0n-r，



進而得損傷因子α的極大似然估計為：

=n-rr#8226;∑ri=1x(i)+(n-r)k0∑nj=r+1x(j)-(n-r)k0.

例如，設在應力S1下將10個產品投入試驗，當有5個產品失效時（次序失效“時間”為：120，223，296，321，386），在k0=400時將應力提高至S2繼續做試驗，試驗持續到所有產品失效為止（次序失效“時間”為：411，458，466，496，518），運用本文方法得參數的極大似然估計為：=14943×10-3，=104304.