談如何學習線性空間的概念

【摘要】針對學生在學習線性空間的概念時存在的困難，從微觀角度與宏觀角度提出幾點學法建議.

【關鍵詞】線性空間；學法；概念

在高等代數的學習中，不少學生認為線性空間的概念是進一步學習高等代數的一道很難逾越的門檻.究其原因，大多數學生對于比較抽象的高等代數概念難以理解，還依賴于中學代數中的數字運算，還不能從先期學過的多項式、向量、矩陣等的運算中體會文字的運算及運算規律，亦不能體會結構、系統的意義；還停留在只注重運算，而不注重運算規律的層面上，不能從整體上理解一個數學問題，只能從系統的某些元素進行分析，注重系統的某些細節，不注重元素間的聯系及系統的整體結構.如果學習不好線性空間的概念，那么學生對今后線性變換、歐氏空間等概念的學習會形成一定的障礙，也直接影響著他們學習高等代數的興趣、信念，從而使他們不能更好地把握認識論維度、自我維度、教學維度以及學習行為維度.要使學生從微觀角度與宏觀角度更好地學習理解線性空間的概念，下面給出幾點學法建議.

一、根據教師引導，積極回憶與概念相關的直觀模型

我們在解析幾何中討論的三維空間及空間中的向量、向量的基本性質可以按平行四邊形法則相加，也可以與實數做數量乘法；矩陣構成的集合，兩個同型矩陣可以進行加法運算，某個實數也可以與矩陣做數乘矩陣運算.以上這些有助于幫助我們理解抽象的向量的加法與數乘向量的概念，同時，這些直觀模型的概念與抽象的數學概念又有較大區別，學會剔除具體概念中特殊的成分，注重具體概念中共同具有的一些性質.

二、把新概念的學習納入到已有熟悉的概念系統中去

考察新概念在概念系統中的地位和作用，熟悉它和相類似的概念的關系與區別，對新概念進行再認識.

如線性空間概念中可以參考前面討論過的n元有序數組(a1，a2，…，an)作為元素的n維向量空間，對于n元有序數組也有加法和數量乘法，即(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)，k(a1，a2，…，an)=(ka1，ka2，…，kan).

同時n維向量的兩種運算滿足如下運算規律：

(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+0=+α；(4)α+(-α)=0；(5)k(α+β)=kα+kβ；(6)(k+l)α=kα+lα；(7)k(lα)=(kl)α；(8)1α=α.

可以看出上述運算及運算規律正是線性空間的概念應用于n維向量空間中，但是顯然這些運算及運算規律也可應用于其他系統，如實數、復數、矩陣、線性方程組等，也就是說，線性空間的概念是存在屬于不同系統的共同的代數結構.

三、對于線性空間的定義，要字斟句酌，把握其準確含義

如在線性空間的概念中，（1）“在集合V的元素之間定義了一種代數運算，叫作加法”中的“一種代數運算”表示：一個對應法則，也就是一種映射或變換，而不是一種普通的數的加法運算.（2）零向量、負向量、單位“1”同樣要引起足夠重視.

例1 全體正實數的集合R+，對加法和數量乘法ab=ab，ka=ak，構成R上的向量空間，則此空間的零向量為1，a∈R+的負向量為1a.而有的同學誤認為零向量為0，負向量為-a.此時只要看一下所討論的集合R+，0和-a∈R+，也就是沒有意義.

例2 全體正實數的集合R+，對加法和數量乘法ab=ab，k a=a-k，構成R上的向量空間，則此空間中的單位元“1”=-1.在這個問題上，有同學誤認為它不能夠構成R上的線性空間.

出現以上狀況，都是不能準確把握概念的表現.

四、要從整體上把握線性空間的概念，不要只見樹木不見森林

在學習線性空間的概念時，我們同學只知道根據所給題目，將八條運算規律驗算正確，就認為是大功告成，結果線性空間是什么，只記住了八條運算規律，這是典型的只見樹木不見森林的學習方法.學習數學若僅僅限于微觀學習，是學不到真正的數學思想與方法的，更談不上應用所學數學知識去創造性地解決實際問題了.我們要注意養成全面考慮問題的習慣，不僅要看到數學概念的某個局部，而且能看到整體和局部的關系，避免研究問題時的片面性.

五、體會線性空間概念中的運動思想，會用辯證法的思想把握概念

線性空間的概念和函數概念一樣體現著變化過程和各變化的量之間的依賴關系，同時又指導著一些具體的變化過程和變量，并不與哪個特別事物相關.線性空間在高等代數中首先引入抽象的變量向量，有了變量，運動就進入了線性空間的概念，整個概念體現了運動與變化的相互滲透，對于后繼抽象數學課程打下了一個良好的基礎.

總之，線性空間的概念是抽象與具體、整體與局部、運動與變化完美結合的系統，初學者一定要深刻體會，參悟概念的美，以便更好地培養學生學習高等代數及后繼課程的興趣度、自信度、意志力和提高學習效率等.

【參考文獻】

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