類斐波那契序列

【摘要】根據(jù)鉤織毛衣加針的問題，將鉤織毛衣的方向體現(xiàn)在數(shù)字正負(fù)中，構(gòu)建一個(gè)新的序列，并與斐波那契序列作比較將新序列定義為類斐波那契序列，提出并證明其計(jì)算公式和若干性質(zhì).

【關(guān)鍵詞】斐波那契；序列；類斐波那契序列

引言：近年考慮鉤織毛衣時(shí)，一針加成所需針數(shù)的問題：將一針用下列原則織幾行加成21針，這時(shí)織衣的方向如何？原則：（1）新加的針不能加針；（2）只要不是上一行新加的針，本行就加上一針且只加一針；（3）規(guī)定從左到右鉤織的方向?yàn)檎较颍@時(shí)針數(shù)記為正數(shù)；（4）為了不將毛衣面翻轉(zhuǎn)，正方向我用左手鉤織，負(fù)方向我用右手鉤織.解此問題見圖1.

圖1 從1針加到21針，方向?yàn)樨?fù)

圖1中空白格表示與加針無(wú)關(guān)的地方，“X”表示可加一針的針，“o”表示剛加出的一針，“x”表示上一行新加的針，這一行已經(jīng)變成可加一針的針.由表1可看出問題的答案為：再鉤織7行，可將1針加成21針，方向?yàn)樨?fù)，即由右到左，我應(yīng)該用右手鉤織.

此問題中新數(shù)列的前幾項(xiàng)為0，1，-1，2，-3，5，-8，13，-21，34，-55，…，且滿足遞推關(guān)系rn+2=rn-rn+1和初始條件r0=0，r1=1.

1類斐波那契序列

引言中提到的數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)為斐波那契序列偶數(shù)項(xiàng)的相反數(shù)，將其命名為類斐波那契序列.

定義1.1 滿足遞推關(guān)系和初始條件rn+2=rn-rn+1(n≥2)，r0=0，r1=1的數(shù)列r0，r1，r2，r3，…叫作類斐波那契序列，序列的項(xiàng)叫作類斐波那契數(shù).

下面討論類斐波那契序列的公式.

定理1.2 類斐波那契數(shù)滿足公式

rn=-15-1-52n+15-1+52n，(n≥0).

證明 由遞推公式rn+2=rn-rn+1(n≥2)，（1）

得rn+2+rn+1-rn=0，(n≥2).先忽略r0，r1的初始值，令rn=qn，其中q是一個(gè)非零數(shù).因此，在第一項(xiàng)等于q0=1的幾何序列中尋找一個(gè)解.rn=qn滿足類斐波那契序列遞推關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)qn+2-qn+qn+1=0，從而qn(q2+q-1)=0，解q2+q-1=0，得q1=-1-52，q2=-1+52.因此，rn=-1-52n，rn=-1+52n，兩者皆為滿足類斐波那契序列遞推關(guān)系的解.由于類斐波那契序列遞推關(guān)系是線性和齊次的，從而

rn=k1-1-52n+k2-1+52n.（2）

對(duì)于任意選擇的常數(shù)k1，k2，（2）也是遞推關(guān)系的解.將初始值r0=0，r1=1代入（2），得

k1+k2=0，k1-1-52+k2-1+52=1，

解得k1=-15，k2=15.

將其代入（2），得到

rn=-15-1-52n+15-1+52n，(n≥0).證畢.

2類斐波那契數(shù)列的性質(zhì)

定理2.1 類斐波那契序列的項(xiàng)的部分和為

Sn=r0+r1+r2+r3+…+rn=1-rn-1.

證明 利用數(shù)學(xué)歸納法.

顯然，S1=0+1=1-r0，S2=0+1-1=1-r1，

S3=0+1-1+2=1-(-1)=1-r2.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即Sk=r0+r1+r2+…+rk=1-rk-1.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=r0+r1+r2+…+rk+1=1-rk-1+rk+1=1-rk-1+rk-1-rk=1-rk.證畢.

定理2.2 r0+r2+r4+…+r2n=1-r2n+1.

證明 利用數(shù)學(xué)歸納法.

顯然，當(dāng)n=1時(shí)，r0+r2=0-1=1-r2+1；

當(dāng)n=2時(shí)，r0+r2+r4=0-1-3=1-r4+1.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即r0+r2+r4+…+r2k=1-r2k+1.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，r0+r2+r4+…+r2k+r2k+2=1-r2k+1+r2k+2=1-(r2k+1-r2k+2)=1-r2(k+1)+1.證畢.

定理2.3 r1+r3+r5+…+r2n-1=-r2n.

證明 r1+r3+r5+…+r2n-1=S2n-(r0+r2+r4+…+r2n)=1-r2n-1-(1-r2n+1)=-(r2n-1-r2n+1)=-r2n.證畢.

定理2.4 g1=-rn+rn-1grn+1-rng=rn+1-rng-rn+2+rn+1g其中g(shù)=5-12.

證明 先證明g1=-rn+rn-1grn+1-rng.

要使g1=-rn+rn-1grn+1-rng成立，

只要(rn+1-rng)g=-rn+rn-1g成立，

即rng2+(rn-1-rn+1)g=rn成立.

由定理知，rn=rn-2-rn-1(n≥2)，

再根據(jù)公式g2+g=1其中g(shù)=5-12，

可知rng2+(rn-1-rn+1)g=rn成立，

所以g1=-rn+rn-1grn+1-rng，同理，g1=rn+1-rng-rn+2+rn+1g.

因此g1=-rn+rn-1grn+1-rng=rn+1-rng-rn+2+rn+1g.證畢.

定理2.5 r2n-rn-1rn+1=rn-1rn+2-rnrn+1=rnrn+2-r2n+1=(-1)n-1.

證明 由-rn+rn-1grn+1-rng=rn+1-rng-rn+2+rn+1g，得

(-rn+rn-1g)(-rn+2+rn+1g)=(rn+1-rng)2，

整理，得g2+rn-1rn+2-rnrn+1r2n-rn-1rn+1g=rnrn+2-r2n+1r2n-rn-1rn+1，

從而r2n-rn-1rn+1=rn-1rn+2-rnrn+1=rnrn+2-r2n+1.

由于rn=-15-1-52n+15-1+52n，(n≥0)，

所以r2n-rn-1rn+1

=-15-1-52n+15-1+52n2-

-15-1-52n-1+15-1+52n-1#8226;

-15-1-52n+1+15-1+52n+1

=15-1-522n+

15-1+522n-

25-1-52-1+52n-15-1-522n-1#8226;

-1-522+

15(-1)n-1-1-522+

15(-1)n-1-1+522

-15-1+522n-1#8226;

-1+522

=153+52n+

153-52n-

25(-1)n- 153+52n+

15(-1)n-13+52+

15(-1)n-13-52-

153-52n

=35(-1)n-1+25(-1)n-1=(-1)n-1.

因此r2n-rn-1rn+1=rn-1rn+2-rnrn+1=rnrn+2-r2n+1=(-1)n-1.證畢.

【參考文獻(xiàn)】

Richard A.Brualdi. Introductory Combinatorics［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006：143-146.