數形結合 確定直線條數

對于直線與封閉曲線如圓、橢圓只有一個公共點的問題，一般可采取把直線方程代入曲線方程，利用根的判別式Δ=0來考慮.但對于雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況要考慮全面，除上面的情況外，當直線與雙曲線的漸近線平行時，只有一個交點；當直線與拋物線的對稱軸平行時，只有一個交點.下面以雙曲線為例，利用數形結合法談一談過一點與雙曲線有且只有一個公共點的直線的條數問題.

例 已知雙曲線C：x29-y216=1，過點P(3，3)作直線l，使l與C有且只有一個公共點，則滿足條件的直線l共有（ ）.

A1條

B2條

C3條

D4條

解析 易知雙曲線的焦點F1(-5，0)，F2(5，0)，頂點A(3，0)，漸近線為y=±43x，先確定P點的位置，易得過P點與雙曲線有且只有一個公共點的直線中，有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線(圖1)，有兩條雙曲線右支的切線(圖2)，共4條，選D.

圖 1

圖 2

為了加深對此類問題的理解，我們可以把此題的條件做一些改變，從多角度、多方位再進行思考，力求達到舉一反三、觸類旁通的效果.如我們可以改變P點的位置(圖略)：

變式1 將P(3，3)改為P(3，0)，其他條件不變，則滿足條件的直線l共有幾條？

解析 點P與頂點A重合，即在雙曲線的右支上，滿足條件的直線有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線，一條與右支相切的直線，共3條.

變式2 將P(3，3)改為P(0，4)，其他條件不變，則滿足條件的直線l共有幾條？

解析 點P在y軸上，滿足條件的直線有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線，兩條分別與左、右兩支曲線相切的直線，共4條.

變式3 將P(3，3)改為P(3，4)，其他條件不變，則滿足條件的直線l共有幾條？

解析 點P在雙曲線的漸近線上，滿足條件的直線有一條和雙曲線的漸近線平行的直線，一條與右支相切的直線x=3，共2條.

變式4 將P(3，3)改為P(5，1)，其他條件不變，則滿足條件的直線l共有幾條？

解析 點P在雙曲線右支的右側，滿足條件的直線只有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線，共2條.

經過上面的變式練習可知，解決過一點P與雙曲線有且只有一個公共點的直線的條數問題，應該先確定點P的位置，進而再通過圖形分析與雙曲線的兩條漸近線平行的直線的條數和與雙曲線的左、右兩支分別相切的直線的條數.當然，大家還可以進一步引申變換，真正做到通過一個問題學會解決一類問題，培養思維的靈活性和創造性.