求解伯努利方程的兩種新方法

【摘要】本文利用變量代換與常數變易的新解法，得到了伯努利方程的通解.

【關鍵詞】伯努利方程；變量代換法；常數變易法；通解

1引 言

本文研究下列伯努利方程的解法：

dydx=p(x)y+q(x)yn.(1)

其中p(x)，q(x)為連續函數，n為常數且n≠0，1.

關于伯努利方程的解法，在教材中先令Z=y1-n，將原方程(1)化為一階線性方程dZdx=(1-n)p(x)Z+(1-n)q(x)，再解這個方程，最后代入變換Z=y1-n得原方程(1)的解.此外，很多學者也研究了其他解法，例如，艾英、李信明等利用常數變易法，令y=c(x)e∫p(x)dx，胡勁松和鄭克龍等利用積分因子法；王等令y=u(x)v(x)，等等.

2兩種新解法的推導

本文利用兩種新方法，得到方程(1)的通解.

解法一(變量代換法) (本方法的創新之處:利用變量變換把方程(1)轉為變量分離方程(4))

用y-n乘方程(1)，得

dy1-ndx=(1-n)p(x)y1-n+(1-n)q(x).(2)

令u=e∫(n-1)p(x)dx，則u′=(n-1)p(x)e∫(1-n)p(x)dx，

所以p(x)=u′u#8226;1n-1.

用y-1乘方程(1)，整理得

y′y-u′u#8226;1n-1=q(x)uyu1n-1n-1，

即Inyu1n-1′=q(x)uyu1n-1n-1.(3)

令z=yu1n-1，式(3)變為z′z=q(x)u.(4)

兩邊積分式(4)，聯合變換式u=e∫(n-1)p(x)dx和式z=yu1n-1，則方程(1)的通解

y1-n=(1-n)e(1-n)∫p(x)dx∫q(x)e(n-1)∫p(x)dxdx+c，

c為任意常數.

當n>0時，方程還有解y=0.

解法二(常數變易法)本方法的創新之處是先解方程：dydx=q(x)yn.(5)再利用常數變易式(6)；而不是先解方程dydx=p(x)y，再利用常數變易式y=c(x)e∫p(x)dx.

利用變量分離方法，方程(5)的通解y1-n=(1-n)#8226;∫q(x)dx+c，現把常數c變易為待定的函數c(x)，即

y1-n=(1-n)∫q(x)dx+c(x).(6)

微分式(6)，得y-ndydx=q(x)+dc(x)dx.(7)

聯立式(1)，(6)及式(7)，得

dc(x)dx=(1-n)p(x)∫q(x)dx+c(x).

利用一階線性方程的通解公式（1），得

c(x)=e(1-n)∫p(x)dx［∫(1-n)p(x)∫q(x)#8226;dxe(n-1)∫p(x)dxdx+c］.(8)

把式(8)代入式(6)，得

y1-n=(1-n)∫q(x)dx+(1-n)e(1-n)∫p(x)dx#8226;∫(1-n)p(x)∫q(x)dxe(n-1)∫p(x)dxdx+c.

利用分部積分公式∫udv=uv-∫vdu，令u=∫q(x)dx，v=e(n-1)∫p(x)dx，則方程(1)的通解y1-n=(1-n)e(1-n)∫p(x)dx#8226;∫q(x)e(n-1)∫p(x)dxdx+c，c為任意常數.當n>0時，方程還有解y=0.

3舉 例

例 求解方程dydx=6yx-xy2.(9)

解法一 用y-2乘方程(9)，得

y-2dydx=6xy-1-x.(10)

令u=e∫6xdx，則u′=6xe∫6xdx，所以6x=u′u，代入方程(9)，并用y-1乘方程(9)，整理得y′y-u′u=-xuyu，即

Inyu′=-xuyu.(11)

令z=yu，式(11)變為z′z2=-xu.(12)

兩邊積分式(12)，聯合變換式u=e∫6xdx和式z=yu，則方程(9)的通解

y-1=-e-∫6xdx［∫(-x)e∫6xdxdx+c］.

即x6y-x88=c，c為任意常數.此外，方程還有解y=0.

解法二 利用變量分離方法，方程dydx=-xy2的通解y-1=-∫(-x)dx+c，現把常數c變易為待定的函數c(x)，即y-1=-∫(-x)dx+c(x).(13)

微分式(13)，得y-2dydx=-x+dc(x)dx.(14)

聯立式(9)，(13)及式(14)，得

dc(x)dx=-6x∫(-x)dx+c(x).

利用一階線性方程的通解公式，得

c(x)=e-∫6xdx∫6x∫xdxe∫6xdxdx+c.(15)

把式(15)代入式(13)，得

y-1=∫xdx-e-∫6xdx∫(∫xdx)6xe∫6xdxdx+c.

利用分部積分公式∫udv=uv-∫vdu，

令u=∫xdx，v=e∫6xdx，則方程(9)的通解

y-1=-e-∫6xdx∫(-x)e∫6xdxdx+c.

即x6y-x88=c，c為任意常數.此外，方程還有解y=0.

【參考文獻】

［1］王高雄，周之銘，等.常微分方程(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2006:45-48.

［2］艾英.伯努利(Bernoulli)方程的幾種解法［J］.焦作大學學報(綜合版)，1997(3):57-58.

［3］李信明.Bernoulli方程通解的一種簡捷求法［J］.昌濰師專學報，2000，19(2):87.

［4］胡勁松，鄭克龍.用“積分因子法”求解Bernoulli方程［J］.四川理工學院學報，2005，18(3):86-87.

［5］王瑋.一階線性微分方程與貝努利方程的解法［J］.焦作大學學報(綜合版)，1994(2):39-41.