例談抽象函數(shù)問題

抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達式，只是給出一些特殊條件的函數(shù)，它在高中數(shù)學(xué)教材中沒有涉及，但在各類試題中常常見到，該類問題比較抽象，考查學(xué)生能力，學(xué)生普遍感到束手無策.本文就抽象函數(shù)基本問題類型及解題策略作一探討：

一、抽象函數(shù)的定義域

若已知f(x)的定義域，求f［g(x)］的定義域.其解法是：若f(x)的定義域為［a，b］，則在f［g(x)］中，a≤g(x)≤b，從中解得x的取值范圍即為f［g(x)］的定義域.若已知f［g(x)］的定義域，求f(x)的定義域.其解法是：若f［g(x)］的定義域為［a，b］，則由a≤x≤b確定得g(x)的范圍即為f(x)的定義域.

例1 已知函數(shù)f(x)的定義域為［-1，5］，求f(3x-5)的定義域.

分析 該函數(shù)是由u=3x-5和f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量，由于f(x)與f(u)是同一個函數(shù)，因此這里是已知-1≤u≤5，即-1≤3x-5≤5，求x的取值范圍.

解 ∵f(x)的定義域為［-1，5］，

∴-1≤3x-5≤5，43≤x≤103.

故函數(shù)f(3x-5)的定義域為43，103.

二、抽象函數(shù)的值域

抽象函數(shù)的值域由抽象函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則決定.

例2 若函數(shù)y=f(x+1)的值域為［-1，1］，求函數(shù)y=f(3x+2)的值域.

解 函數(shù)y=f(3x+2)中3x+2的取值范圍與y=f(x+1)中x+1的取值范圍一樣，所以在相同的對應(yīng)法則f的作用下所得y的取值范圍也是一樣的.所以函數(shù)y=f(3x+2)的值域為［-1，1］.

三、抽象函數(shù)的函數(shù)值

抽象函數(shù)雖然沒有給出具體的表達式，但是也可以利用適當?shù)馁x值來求抽象函數(shù)的特殊函數(shù)值.

例3 定義在非零實數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y)，求f(1)，f(-1)的值.

解 令x=y=1，則f(1)=f(1)+f(1)，∴f(1)=0.

令x=y=-1，則

0=f(1)=f(（-1）×(-1))=f(-1)+f(-1)，

∴f(-1)=0.

四、抽象函數(shù)的奇偶性

利用函數(shù)奇偶性的定義研究抽象函數(shù)的奇偶性問題.

例4 定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).求證：f(x)為奇函數(shù).

證明 已知f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R).①

令x=y=0，代入①式，得

f(0+0)=f(0)+f(0)，

即f(0)=0.

再令y=-x，代入①式，得

f(0)=f(x)+f(-x).

又 f(0)=0，則0=f(x)+f(-x)，

即f(-x)=f(x)對任意x∈R成立，則f(x)是奇函數(shù).

五、抽象函數(shù)的單調(diào)性

利用函數(shù)單調(diào)性的定義研究抽象函數(shù)的單調(diào)性問題.

例5 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且對任意實數(shù)m，n總有f(m+n)=f(m)f(n)，且當x>0時，0

證明 設(shè)任意x1，x2∈R，且x1

則x2-x1>0，∴0

又 ∵f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)#8226;f(x1)，

故 f(x2)f(x1)=f(x2-x1)∈(0，1).

∴f(x2)