二重積分的計(jì)算方法研究

【摘要】在高等數(shù)學(xué)中，二重積分的計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)，一些重要的計(jì)算技巧，它的關(guān)鍵是通過(guò)二重積分的性質(zhì)和被積函數(shù)的特殊性，將不同的類(lèi)型的題目分類(lèi)來(lái)找到相關(guān)的解題思路，從而將不易求出的二重積分求出的方法.

【關(guān)鍵詞】二重積分

在高等數(shù)學(xué)中，二重積分的計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)，要從二重積分的性質(zhì)、幾何意義、被積函數(shù)的特征等各個(gè)方面研究，可以找到解決問(wèn)題的辦法.

一、交換積分次序

先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域D的不等式，并畫(huà)D的草圖，再確定交換積分次序后的積分限.

例1 計(jì)算積分∫10dx∫1x2xy1+y3dy.

解 交換積分順序.

原式=∫10y1+y3dy∫y0xdx

=12∫10y21+y3dy

=16∫10d(1+y3)1+y3

=13(2-1).



二、注意利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，以便簡(jiǎn)化計(jì)算

例2 計(jì)算x2+y2≤a2(x2-2x+3y+2)dσ.

解 積分域是圓x2+y2≤a2，故關(guān)于x軸、y軸、直線y=x對(duì)稱(chēng)，故將被積函數(shù)分項(xiàng)積分:

x2+y2≤a2(-2x+3y)dσ=0.

而x2+y2≤a2x2dσ

=x2+y2≤a2y2dσ

=12x2+y2≤a2(x2+y2)dσ12

=x2+y2≤a2(x2+y2)dσ=πa44.



又 x2+y2≤a22dσ=2πa2=2πa2，∴原式=πa44+2πa2.

三、如被積函數(shù)的積分域?yàn)閳A域、扇形域、圓環(huán)域時(shí)，則用極坐標(biāo)計(jì)算

例3 計(jì)算二重積分D(x+y)dxdy，其中D：x2+y2≤2x.

解 用極坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)性來(lái)解決.

原式=2∫π20dθ∫2cosθ0rcosθ#8226;rdr

=2∫π20cosθdθ∫2cosθ0r2dr

=23∫π20cosθ#8226;(r3)2cosθ0dθ

=163∫π20cosθ#8226;cos3θdθ

=163∫π20cos4θdθ

=163#8226;34#8226;12#8226;π2=π.



四、被積函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，應(yīng)將積分域分割成幾個(gè)子域，使被積函數(shù)在每個(gè)子域中保持同一符號(hào)，以消除被積函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)

例4 計(jì)算二重積分D|x2+y2-1|dσ，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}.

解 將D分成D1與D2兩部分.

D|x2+y2-1|dσ

=D 1(1-x2-y2)dσ+D 2(x2+y2-1)dσ.

由于D 1(1-x2-y2)dσ=∫π20dθ∫10(1-r2)rdr=π8，

D 2(x2+y2-1)dσ=∫10dx∫11-x2(x2+y2-1)dy，

D 2(x2+y2-1)dσ

=∫10dx∫11-x2(x2+y2-1)dy

=∫10x2y+y33-y′1-x2dx

=∫10x2-23+23(1-x2)32dx

=∫10x2-23dx+23∫10(1-x2)32dx

=-13+23I=π8-13，

I=∫10(1-x2)32dx，

x=sint=∫π20cos4tdt=34#8226;12#8226;π2=3π16，



∴D|x2+y2-1|dσ=π8+π8-13=π4-13.

通過(guò)以上例子，可以看出求二重積分是從二重積分的性質(zhì)、幾何意義、被積函數(shù)的特征等各個(gè)方面研究，找到解決問(wèn)題的辦法.

【參考文獻(xiàn)】

李林曙，黎詣遠(yuǎn).微積分.北京:高等教育出版社，2005.