化歸一例
2012-04-29 00:00:00季志國
數學學習與研究 2012年3期
課堂上離不開講解題目，因為題目是數學思維和知識的載體，題目講得多并不是高效課堂的衡量標準，真正的高效是在于通過問題的解決獲得了發展.題目不在多，一題足以.
問題 點A是圓C上的定點，點B是圓C上的動點，點P滿足OP＝12（OA＋OB），當點B在圓C上運動時，點P的軌跡是什么圖形？
（1）繪制圖形，理解題意
可見，點P是圓C的弦AB的中點.
這就是條件“點P滿足OP＝12（OA＋OB）”的本質.
（2）化歸問題
點A是圓C上的定點，點B是圓C上的動點，當點B在圓C上運動時，弦AB的中點P的軌跡是什么圖形？
（3）進一步化歸
復雜化簡單，模糊化清晰，困難化容易.
此問題與圓的位置、大小無關，因此，可以把圓C畫成單位圓.
問題可化歸為：
設A（1，0）.當點B在單位圓O上運動時，指出線段AB的中點P的軌跡是什么圖形？
（4）如何探究點的軌跡
思維出發點（如何思考）有二：一是，找出動點在運動時所滿足的不變的（幾何）約束條件；二是，找出引起動點變動的原因.
思路一 聯系平面幾何的知識，連接OP.于是，有OP⊥AP.
因此，在點B運動時，始終滿足不變的條件：OP⊥AP.
可見，點P的軌跡是以OA為直徑的圓.
思路二 設B（x0，y0），P（x，y）.
又 A（1，0），于是x＝12（x0＋1），y＝y02，
即x0＝2x-1，y0＝2y.
因為點B在單位圓上，于是x20＋y20＝1.
把x0＝2x-1，y0＝2y代入上式，得
（2x-1）2＋4y2＝1，即x-122＋y2＝14.
這個方程表示以12，0為圓心，12為半徑的圓.
題目不在于多，在于通過問題的解決獲得了什么發展.發揮一道題的教育作用，教會學生解題，教會學生思考.如果能夠用幾何畫板演示，效果更好.
