淺議《代數式》教學中的數學思想方法

【摘要】隨著新課改的不斷實施，數學思想在數學教學領域中的地位逐日提高，在初中數學教學中，教師有計劃、有意識、有步驟地滲透一些數學思想方法，是體現義務教育性質，落實課程目標，提高學生數學素養的重要舉措.

【關鍵詞】代數式；數學思想；教學

新《數學課程標準》突出強調：“在教學中，應當引導學生在學好概念的基礎上掌握數學的規律（包括法則、性質、公式、公理、定理、數學思想和方法）.”所謂數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，是從某些具體數學認識過程中提煉出的一些觀點.它揭示了數學發展中普遍的規律，它直接支配著數學的實踐活動，這是對數學規律的理性認識.初中數學思想方法教育，是培養和提高學生素質的重要內容.因此，開展數學思想方法教育應作為新課改中所必須把握的教學要求.

初中數學整套教材涉及的數學思想三十多種，下面以浙教版義務教育課程標準實驗教材七年級上冊第四章《代數式》為例，對本章所牽涉的數學思想作一個總結，供大家參考.

一、用字母表示數的思想

用字母表示數的思想，是基本的數學思想之一，本章《§4.1 用字母表示數》中，從引入的兒歌“一只青蛙，一張嘴，兩只眼睛四條腿……n只青蛙……”到用字母表示的代數式、文字表述題、實際應用題等等，都體現了這種思想.

例1 設甲數為a，乙數為b，用代數式表示：

（1）甲乙兩數的和的2倍：2(a+b)；(2)甲數的13與乙數的12的差：13a-12b.

再如，今年李華a歲，比李陽小1歲，5年后李陽是歲.

從特殊的、具體的、確定的數到一般的、抽象的字母或者含有字母的代數式，這是數學發展史上的一大飛躍.“用字母表示數”掌握的好壞直接關系到列代數式、代數式的運算、列方程解應用題等內容的學習.但由于學生初次接觸，較難掌握，在教學中要逐步引導過關，不能操之過急.

二、數形結合的思想

“數形結合”是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想.本章中很多內容都體現了數形結合的數學思想，尤其是利用數軸上的點與實數一一對應的關系來解決有關代數式的問題，主要有：

（1）利用數軸進行有理數大小比較.

（2）利用數軸進行兩點之間距離的計算.

（3）利用數軸計算有理數加減法.

（4）利用數軸進行代數式化簡.

例2 已知：實數a，b，c在數軸上的位置如圖所示.試化簡：|a+c|-|a-c|-|2b-a|.

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前面三個題型在教材七（上）第一章和第三章中應用較多，這里著重說一下利用數軸進行代數式化簡的題型.例2強調了數形結合思想的應用，從圖像中獲得信息，然后確定絕對值的去法，將絕對值化成括號的基礎上再將代數式進行化簡，這樣一層層的由簡到繁，借助數軸使之直觀化、形象化、簡單化，使學生容易接受.

三、整體代換思想

在研究問題的過程中，不是從問題的某個局部入手，而是將問題看作一個完整的整體，把注意力和著眼點放在問題的整體結構上，通過研究整體形式、整體結構或整體處理，以達到順利而簡潔地解決問題的目的.這就是整體思想.

例3 （1）當代數式a+b的值為3時，代數式2a+3b+1的值是多少？

（2）已知代數式x2+3x+5的值等于－7，則代數式3x2+9x-3的值是多少?

以上兩小題均采用了整體代入思想，在掌握了第（1）題的求解方法的基礎上再求解第（2）題就顯得簡單容易.作為整體思想，對剛進入中學的七年級學生來說是一個新接觸的內容，所以這方面的內容是一個難點，平時要加強練習.

四、轉化（化歸）思想

在整個初中數學中，轉化（化歸）思想一直貫穿其中.轉化思想是把一個未知（待解決）的問題化為已解決的或易于解決的問題來解決，它是數學基本思想方法之一.

例4 班級內的每一名學生都要和其他同學握一次手，那要握多少次手呢?

這個問題比較貼近學生的生活實際，符合七年級學生的年齡特點，學生參與積極性高.在此基礎上繼續引出問題：如果有n個人的話，那又要握幾次手?在學生回答n(n-1)2之后，讓學生總結，生活中很多實際問題和握手問題有異曲同工之妙，例如比賽中的單循環比賽以及數線段條數、角的個數等等.

五、分類討論思想

分類討論思想體現在數學學習的不同階段，剛開始學習有理數和實數時就融有大量的分類討論單位問題.在學習“代數式”中有關整式的知識后，對單項式和多項式根據特點進行合理歸類，尤其是那些不是整式的代數式，更加要引起注意.

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例5 下面代數式中哪些是單項式，哪些是多項式，哪些是整式？

32ab，3x，πr2，-ab+a+b+2，x-1，3+x2，-mn3.

代數式的應用題教學是一個難點，針對七年級學生的認知特點，采用了由易到難，循環上升的方法.

例6 某地出租車收費標準如下:3公里以內(含3公里)收費10元，超過3公里的部分每公里收費2元(不足1公里的以1公里計算).

(1)如果乘坐出租車回家行駛了4.1公里，應付多少車費?

(2)若乘坐n公里(n為整數)，請用代數式表示應付多少車費.

(3)學校離小明家6.2公里，而小明口袋里只有17元錢，小明付了車費還有多余的錢嗎？如果不夠用的話小明還要走多遠才能到校？

在第（1）題的教學中，部分學生若采用了用4.1代入，學生能自己發現問題并解決.這個小題大部分學生都能解決，這是因為這個小題的出現可能給第（2）題的求解帶來一定的思維定式，很多學生理解成用單純的字母代入，并沒有考慮到對n的分類討論，在老師的不斷啟發下，學生才發現這時的n并不是一定大于３的，所以分類討論在這里是必要的.

其實，在《代數式》這章教學中，運用分類思想的同時還有合并思想的出現，這一思想在“整式的加減”這一節中的具體體現是合并同類項，這一內容為以后“根式”這一章中的合并同類根式打下了基礎.

六、對稱變換思想

例7 已知多項式a+b，當a=2，b=-3和a=-3，b=2時它的值都是-1，我們將這樣的把代數式中未知數的取值互換而值不變的多項式稱為對稱多項式.請寫出關于x，y的對稱多項式各兩個：（1）二次二項式；（2）二次三項式（不含常數項）.

對稱變換思想一般在幾何中體現較多，在代數式中出現的對稱多項式，學生容易與加法交換律和乘法交換律中位置的交換搞錯，可以讓學生不斷地取不同的數值加以嘗試，然后通過觀察代數式的特點，尤其是二次三項式的特點，初步讓學生有對稱變換的思想，為今后學習有關對稱式的知識打下基礎.

以上只是《代數式》這一章的內容中所涉及的部分數學思想，貫穿于整章乃至整套初中教材中的數學思想遠不止這些.在平時的教學中，教師應有意識地提煉和滲透相關的數學思想，讓學生真正領會數學問題中所蘊涵的數學思想，從而逐步把握數學問題的實質，為數學學習的可持續發展奠定基礎，為新課標倡導的“人人學有價值的數學，不同的人在數學學習上得到不同的發展”的真正實現做好保障.