數學直覺思維的認識與培養

【摘要】在中學數學教學中，直覺思維能力的培養一直以來被人們忽略.為達到數學思維能力的全面發展，有必要認識數學直覺思維及其與其他思維能力的區分.同時，在認識的基礎上，對數學直覺思維進行培養.

【關鍵詞】直覺思維；整體把握；直觀透視

創造性思維由發散思維、形象思維、邏輯思維、直覺思維、辯證思維和橫縱思維等六個要素組成.這六個要素歸納起來可分為：一個指針，兩條策略，三種思維.

一個指針，是發散思維能力，用于解決思維的方向性；兩條策略，是辯證思維和橫縱思維，用以提供宏觀的哲學指導策略和微觀的心理加工策略；三種思維，指的是形象思維、直覺思維和邏輯思維，用于構造創造性思維的主體.

這三種思維中，人們一直以來重視數學的邏輯思維與形象思維，忽略了數學的直覺思維，這樣不利于思維能力的整體發展.

為達到數學思維能力的全面發展，有必要認識數學直覺思維及其與其他思維能力的區分.

一、數學直覺思維的認識

數學直覺思維是具有意識的人腦對數學對象（結構及其關系）的某種直接的領悟和洞察.從本質來看，數學直覺具有三個特征：

1整體把握

撇開事物的細枝末節，從整體、從全局去把握事物，是一種從大處著眼，總攬全局的思維.

2直觀透視與空間整合

對直覺思維來說，整體把握是指對事物之間關系的整體把握，即直覺思維只考慮事物之間的關系，而不考慮每個事物的具體屬性（對事物具體屬性進行分析、綜合、抽象、概括是邏輯思維與形象思維的任務，不是直覺思維的任務）；要從整體上把握事物之間的關系，數學直覺思維所用的方法是“直觀透視”和“空間整合”，而不是靠邏輯的分析與綜合.

3快速判斷

數學直覺思維要求在瞬間對空間結構關系作出判斷，所以是一種快速的、跳躍的空間立體思維（而邏輯思維是在一維時間軸上的線性、順序的慢節奏思維）.

二、數學直覺思維的培養

一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低.數學直覺是可以通過訓練得到提高.

1重視數學的基本概念和基本問題的教學，以形成扎實的數學知識組塊

扎實的數學基礎是產生直覺的源泉，它們由定義、定理、公式、法則等組成，并集中地反映在一些基本問題、典型題型和方法模式之中.學生通過課堂教學形成扎實的數學知識組塊之后，在解決問題時，就能運用形象直觀敏銳地對問題辨認，迅速與有關知識進行聯結，得到解決問題的方法和途徑.

圖 1

例1 已知如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形且對角線AC是直徑，S四邊形ABCD=16 cm2，AB=BC，BE⊥CD于E，求DE.

解析 剛一看到這個圓內接四邊形的對角線是直徑，且已知有一組鄰邊相等，就聯想到四邊形ABCD是正方形，若是正方形，那么點E該與點C重合，由四邊形面積為16 cm2，即知邊長4 cm，即DE=4 cm.故作輔助線構造正方形.過點B作CD的平行線交DA的延長線于點F，有矩形BEDF，再由AAS判定△BEC≌△BFA，進而得正方形BEDF，且S正方形BEDF=S四邊形ABCD.

2滲透數學的整體觀念

對研究對象的整體把握是培養直覺思維的方法之一.因此，在解決問題時，需要從整體上分析，綜合考慮，抓住問題的本質，迅速地變更和化歸問題，作出直覺判斷.

例2 已知a，b滿足a2+a-1=0，b2+b-1=0，求ba+ab的值.

有的學生會先解出a，b的值再代入求值，這樣工作量很大，計算也很繁，通過觀察比較a2+a-1=0與b2+b-1=0，可發現a，b為方程x2+x-1=0的兩根，那么用韋達定理做就方便多了.

解 當a=b時，ba+ab=2；

當a≠b時，a，b為方程x2+x-1=0的兩根.

由韋達定理，得a+b=-1，ab=-1.

∴ba+ab=a2+b2ab=(a+b)2ab-2=(-1)2-1-2=-3.

這種簡捷的解法，來源于對概念、韋達定理的透徹理解，而不是先由點到面.這是一種數學的整體觀念，一種總攬全局的思想.

3在解題教學中培養直覺思維

解題過程是一個思維訓練的過程，教師要給學生選擇安排利于直覺思維的題目進行操練.

例如選擇題，由于只要求從四個選擇項之中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發展.實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效方法.

圖 2

例3 如圖2，AB是⊙O的一條固定直徑，它把⊙O分成上、下兩個半圓，自上半圓上任一點C作CD⊥AB于D，∠OCD的平分線交⊙O于點P，當點C在上半圓（不包括A，B兩點）上移動時，點P（ ）.

A到CD的距離保持不變

B位置不變

C等分DB

D隨C點的移動而移動

解析 由于點P或動或靜，必居其一，比較選擇支，可猜想點P位置不變，依據圓的基本知識與平行的判定，可知CD∥OP，即可知OP⊥AB.由于AB與圓心O的固定，而確知點P位置不變.

開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發散性，有利于直覺思維力的培養.

4培養學生數形結合構造模型的能力

由于直覺思維是運用圖形、圖式的形象進行分析推理、判斷的，常常與形象思維相聯系，在教學中，制作模型、圖表，給學生以直觀的氛圍，加強直觀性教學.

例4 某企業有九個生產車間，現在每個車間原有的成品一樣多，每個車間每天生產的成品也一樣多.有A，B兩組檢驗員，其中A組有8名檢驗員，他們先用兩天時間將第一、第二兩個車間的所有成品（指原有的和后來生產的）檢驗完畢后，再去檢驗第三、第四兩個車間的所有成品，又用去了三天時間；同時，用這五天時間，B組檢驗員也檢驗完余下的五個車間的所有成品.如果每個檢驗員的檢驗速度一樣快，每個車間的原有的成品為a件，每個車間每天生產b件成品，

（1）試用a，b表示B組檢驗員檢驗的成品總數；

（2）求B組檢驗員的人數.

這是一道實際問題，學生在解題時無從下手.通過引導學生數形結合，利用圖表的直觀性發掘隱含的量與量之間的關系，則多數同學能找到解題方法.

檢驗員車間原有成品后來生產的檢驗時間檢驗速度

A組（8人）

第①a2b

第②a2b

第③a5b

第④a5b2天后3天

2(a+2b)2×82(a+5b)3×8

B組x人后5個5a5×5b5天5(a+5b)5x

隱含條件：A組、B組檢驗員的每個的檢驗速度一樣快.

2(a+2b)2×8=2(a+5b)3×8=5(a+5b)5x，

x=12（人）.

最后，我還要指出“跟著感覺走”是人們經常講的一句話，其實這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念.直覺思維與形象思維、邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展.

【參考文獻】

［1］孔企平.數學新課程與數學學習.北京：高等教育出版社.

［2］羅增儒，鐘湘湖.直覺探索方法.大象出版社，1999.

［3］鄭毓信.數學教育：從理論到實踐.上海：上海教育出版社，2001.