三次函數的性質及應用

三次函數的一般形式為y=f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0，a，b，c，d∈R).近幾年的全國各省市高考試卷以導數為工具，有重點地考查了有關三次函數的單調性、極值、在閉區間上的最值等函數性態，凸顯“在知識網絡交匯點上命題”的理念.三次函數的導數為二次函數，因此，三次函數交匯了函數、不等式、方程等眾多知識點以它為載體的試題，背景新穎獨特，選拔功能強.如果學生對三次函數的圖像、性質以及三次方程根的情況有所了解，那就更加得心應手了.

一、三次函數的圖像與性質

1定義域：R

2值域：R

3單調性

易證 三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，導函數為二次函數f′(x)=3ax2+2bx+c(a>0)，導函數的判別式化簡為Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).

(1)若b2-3ac≤0，則f(x)在(-∞，+∞)上為增函數（如圖1）.

(2)若b2-3ac>0，則f(x)在(-∞，x1)和(x2，+∞)上為增函數，f(x)在(x1，x2)上為減函數，其中x1=-b-b2-3ac3a，x2=-b+b2-3ac3a（如圖2）.



三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d（a<0）的情況為圖3、圖4.

4極 值

三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，

(1)若b2-3ac≤0，則f(x)在R上無極值（如圖1）.

(2)若b2-3ac>0，則f(x)在R上有兩個極值，且f(x)在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值（如圖2）.

三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a<0)，

(1)若b2-3ac≤0，則f(x)在R上無極值（如圖3）.

(2)若b2-3ax>0，則f(x)在R上有兩個極值，且f(x)在x=x1處取得極小值，在x=x2處取得極大值（如圖4）.

5對稱性

函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是中心對稱圖形，其對稱中心是-b3a，f-b3a.

證明 設函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心為（m，n）.

按向量a=(-m，-n)將函數的圖像平移，則所得函數y=f(x+m)-n是奇函數，所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0.

化簡得(3ma+b)x3+am3+bm2+cm+d-n=0.

上式對x∈R恒成立，故3ma+b=0，

得m=-b3a，n=am3+bm2+cm+d=f-b3a.

所以，函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心是-b3a，f-b3a.

可見，y＝f(x)圖像的對稱中心在導函數y＝f′(x)的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點.

二、三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a>0)實根的個數

分析 函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的圖像與x軸有幾個交點，方程便有幾個根.

1當Δ=4b2-12ac≤0時，由于不等式f′(x)≥0恒成立，函數是單調遞增的，所以原方程僅有一個實根.

2當Δ=4b2-12ac>0時，由于方程f′(x)=0有兩個不同的實根x1，x2，不妨設x1

此時，若f(x1)#8226;f(x2)>0，即函數y=f(x)的極大值點和極小值點在x軸同側，圖像均與x軸只有一個交點，所以原方程有且只有一個實根（如圖5，6）.

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若f(x1)#8226;f(x2)<0，即函數y=f(x)的極大值點與極小值點在x軸異側，圖像與x軸必有三個交點，所以原方程有三個不等實根（如圖2）.

若f(x1)#8226;f(x2)=0，即f(x1)與f(x2)中有且只有一個值為0，所以，原方程有三個實根，其中兩個相等（如圖7，8）.

下面讓我們來體會一下如何應用三次函數的圖像、性質以及三次方程根的情況快速、準確地解答問題.

例 已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數，求a的取值范圍？

解 求函數f（x）的導數：f′(x)=3ax2+6x-1.

（1）當f′(x)＜0（x∈R）時，f（x）是減函數.

3ax2+6x－1＜0（x∈R）a＜0且Δ=36+12a＜0a＜－3.

所以，當a＜－3時，由f′(x)＜0，知f（x）（x∈R）是減函數.

（2）當a=-3時，f（x）=-3x3+3x2-x+1=-3x-133+89，由函數y=x3在R上的單調性，可知當a=－3時，f（x）（x∈R）是減函數.

（3）當a＞－3時，在R上存在一個區間，其上有f′(x)＞0，所以，當a＞－3時，函數f（x）（x∈R）不是減函數.

綜上所述，所求a的取值范圍是（－∞，－3］.

如果用三次函數性質，我們就可以這樣解答：

解 若a=0，f(x)=3x2-x+1為二次函數，在R上不是減函數；

若a≠0，f(x)=ax3+3x2-x+1為三次函數，在R上是減函數，只需a<0且9+3a≤0，即a≤-3.

綜上所述，a的取值范圍是a≤-3.

綜觀以上事例，只要我們了解了三次函數的圖像、性質以及三次方程根的情況，無論是容易題、中檔題還是難題，都能找到明確的解題思路，解題過程也簡明扼要.盡管高中教學強調利用導數解決這類問題，但我們了解了這些知識就會拓寬解題思路，而且有利于知識的系統性，有利于高中數學和高等數學的銜接.