由高中課本中的習(xí)題聯(lián)想到函數(shù)的凹凸性

大學(xué)知識點下放到高中是新課程中的一個特點，蘇教版將這些知識點的下放有的放于章節(jié)學(xué)習(xí)中，有的放于課后“探究拓展”中，雖沒有明確指出大學(xué)所講的嚴(yán)格定義，但從感性的角度給學(xué)生一個認(rèn)識，對這些知識點的了解，有時對學(xué)生的思維拓展起到很好的作用.

如蘇教版必修1中就有這樣兩道思維拓展題：

1對于任意的x1，x2∈R，若函數(shù)f(x)=2x，試比較f(x1)+f(x2)2與fx1+x22的大小關(guān)系.

2對于任意的x1，x2∈(0，+∞)，若函數(shù)f(x)=lgx，試比較f(x1)+f(x2)2與fx1+x22的大小關(guān)系.

這兩道題的比較應(yīng)該是比較簡單的，只需要將兩式作差即可，如下證明第一題：

f(x1)+f(x2)2-fx1+x22=2x1+2x22-2x1+x22-122x122+2x222-2#8226;2x1+x22=122x12-2x222≥0，所以，對于函數(shù)f(x)=2x，f(x1)+f(x2)2≥fx1+x22.

同理我們可以知道對于函數(shù)f(x)=lgx，則有f(x1)+f(x2)2≤fx1+x22.

我們的學(xué)生有可能做到這就結(jié)束了，沒有去反思為什么出現(xiàn)這樣的情況，其實這要從函數(shù)的凹凸性來說起.

什么叫函數(shù)的凸性呢？我們先以兩個具體函數(shù)為例，從直觀上看一看何謂函數(shù)的凸性.如函數(shù)y=x所表示的曲線是向上凸（即凹）的，而y=x2所表示的曲線是向下凸的，這與我們?nèi)粘Ａ?xí)慣上的稱呼是相類似的.或更準(zhǔn)確地說：從幾何上看，若y=f(x)的圖形在區(qū)間I上是凸的，那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的上方；若y=f(x)的圖形在區(qū)間I上是凹的，那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的下方.

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是凸的（向下凸），任意x1，x2∈I（x1

曲線y=f(x)上任意兩點A(x1，f(x1))，B(x1，f(x1))之間的圖像位于弦AB的下方，即任意x∈(x1，x2)，f(x)的值小于或等于弦AB在x點的函數(shù)值，弦AB的方程y=f(x2)-f(x1)x2-x1(x-x1)+f(x1).

對任意x∈(x1，x2)有f(x)≤f(x2)-f(x1)x2-x1(x-x1)+f(x1)，整理得f(x)≤x2-xx2-x1f(x1)+x-x1x2-x1f(x2).

令t=x2-xx2-x1，則有0

定義 設(shè)函數(shù)(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上任意兩數(shù)x1，x2和任意實數(shù)t∈(0，1)總有f［tx1+(1-t)x2］≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，則稱函數(shù)f(x)為I上的凸函數(shù).反之，如果總有f［tx1+(1-t)x2］≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，則稱函數(shù)f(x)為I上的凹函數(shù).

當(dāng)令t=12時，就變成了我們前兩個問題的答案，所以，我們可以知道函數(shù)f(x)=2x在R上定凸的，而函數(shù)f(x)=lgx是凹的.

其實高中所學(xué)的好多函數(shù)都具有這樣的凹凸性，像我們所學(xué)的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)在一定的區(qū)間上都有凹凸性，其實利用這些性質(zhì)可以解決我們所熟悉的一些問題.像我們所學(xué)的基本不等式就可以用函數(shù)的凹凸性來構(gòu)造函數(shù)證明.

例1 證明21x1+1x2≤x1x2≤x1+x22，x1>0，x2>0，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時等號成立.

證明 當(dāng)x1=x2時等號顯然成立.只需證x1≠x2時，不等號成立即可.

取f(x)=-lgx，則y=f(x)在(0，+∞)上是凸函數(shù)，

-lgx1+x22<-lgx1-lgx22=-lgx1x2.

因f(x)=-lgx單調(diào)減，故有x1x2

又將用1x代換x，得1x1#8226;1x2<1x1+1x22，

即21x1+1x2

也可以運用y=x2的凹凸性來證明.當(dāng)x>0，y>0時，x2+y22≥x+y2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立.這種證明方法能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力及構(gòu)造函數(shù)的能力.

例2 已知a>0，b>0，a3+b3≤2，求證：a+b≤2.

解 在高中階段我們對這個式子的證明通常用反證法.

假設(shè)a+b>2，那么b>2-a，代入a3+b3>a3+(2-a)3=2［a2-a(2-a)+(2-a)2］=2(3a2-6a+4)=2［3(a-1)2+1］≥2.

所以出現(xiàn)矛盾，所以a+b≤2.

但如果運用函數(shù)的凹凸性，很快可以得出結(jié)論：

函數(shù)f(x)=x3在(0，+∞)內(nèi)嚴(yán)格凸.

(a+b)38=a+b23=fa+b2≤f(a)+f(b)2=a3+b32≤22=1，∴(a+b)3≤8，∴a+b≤2.

函數(shù)凹凸性的定義本身就是一個不等式，所以在比較一些較難的代數(shù)式的大小時可以考慮構(gòu)造函數(shù)運用函數(shù)的凹凸性來比較.同時可以將凹凸性的定義用特殊值代換，變?yōu)橹悬c的形式來解決相關(guān)問題.