向量在平面幾何中的應用
2012-04-29 00:00:00郝冬梅
數學學習與研究 2012年3期
平面向量在平面幾何中的應用，是以平面幾何的基本圖形（三角形、平行四邊形、梯形等）為背景，重點考查平面向量的幾何運算、坐標運算和幾何圖形的性質.
例1 如圖所示，若點D是△ABC內的一點，且滿足AB2-AC2=BD2-CD2，求證：AD⊥BC.
分析 要證明AD⊥BC，只需證明AD⊥BC.通過向量的運算求解本題.
證明 設AB=c，AC=b，AD=m，則
BD=AD-AB=m-c，CD=AD-AC=m-b.
∵AB2-AC2=BD2-CD2，
∴c2-b2=(m-c)2-(m-b)2.
化簡，得2m#8226;(b-c)=0.
即AD#8226;(AC-AB)=0，∴AD#8226;BC=0，∴AD⊥BC.
方法技巧 一般情況下，用向量解決問題時要用不共線向量表示題中的向量，再用向量的運算法則和性質解決問題.
例2 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，求|PA+3PB|的最小值.
解析 方法一：設PD=x，CP=y，
由圖知PA=PD+DA，PB=PC+CB，
PA2=(PD+DA)2=PD2+2PD#8226;DA+DA2=x2+4，
同理PB2=y2+1，PA#8226;PB=xy+2，
|PA+3PB|2=PA2+6PA#8226;PB+9PB2
=x2+4+6(xy+2)+9(y2+1)
=x2+6xy+9y2+25
=(x+3y)2+25≥25，
∴|PA+3PB|的最小值為5.
方法二：以D點為坐標原點，以DA，DC所在的直線為x，y軸建立直角坐標系，且設DC=m，P(0，y)，則
PA+3PB=（-2，-y）+3(-1，m-y)=(-5，3m-4y)，
∴|PA+3PB|=52+(3m-4y)2≥5，
當且僅當y=3m4時取等號，
即|PA+3PB|的最小值為5.
例3 給定兩長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°，如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是什么？
方法一 設∠AOC=α，構造方程組：
OC#8226;OA=xOA#8226;OA+yOB#8226;OA，
OC#8226;OB=xOA#8226;OB+yOB#8226;OB，
即cosα=x-12y，cos(120°-α)=-12x+y，
∴x+y=2sin(α+30°)≤2.
方法二 由OC=xOA+yOB，得
OC2=(xOA+yOB)2=x2OA2+2xyOA#8226;OB+OB2.
由|OA|=|OB|=1且OA和OB的夾角為120°，
∴1=x2-xy+y2
=(x+y)2-3xy≥(x+y)2-3#8226;(x+y)24
=(x+y)24，
從而有x+y≤2.
方法技巧 以上是考查向量與平面幾何等知識的綜合應用，解此類問題，可通過建立坐標系，運用向量的運算，將問題轉化為三角或代數問題解決.
例4 在△ABC中，AB=3，AC=5，若O為△ABC的外心，則AO#8226;BC的值為.
解析 數形結合法.
如圖，EO為AB的垂直平分線，FO為AC的垂直平分線，則O為△ABC的外心，設∠EAO=β，∠FAO=γ，
則AO#8226;BC=AO#8226;(AC-AB)
=AO#8226;AC-AO#8226;AB
=|AO||AC|cosγ-|AO||AB|cosβ.
由圖知|AO|cosγ=AF=AC2，|AO|cosβ=AE=AB2，
∴AO#8226;BC=12AC2-12AB2=252-92=8.
由于向量具有代數形式和幾何形式雙重身份，特別是坐標化以后，可以與解析幾何聯系，解題時思路清晰，有意想不到的神奇效果.
