平面向量基本定理的拓展及應用

【摘要】平面向量是高中數學的一個重要考點，特別是對平面向量基本定理的應用更是常考的內容.該定理是聯系平面向量幾何運算和代數運算的紐帶，它能將平面圖形中任何向量表示為任意兩個不共線向量的線性組合，是進行向量幾何運算的基礎和重要途徑.本文意將該定理加以適當的拓展，并結合近幾年高考題型闡述它的應用，有利于學生深化對該定理的理解，也有利于學生系統、全面地理解和掌握平面向量相關的基礎知識.

【關鍵詞】平面向量基本定理；拓展；應用

在數學教學中，若能引導學生對教材中一些數學命題進行適當的拓展，不僅能幫助學生鞏固、深化所學知識，揭示數學知識的內在規律，使紛繁復雜的知識變得井然有序，形成一個系統，而且能培養學生深入細致地分析數學現象和積極主動地參與到數學知識的發生、發展過程中的良好學習習慣.

一、平面向量的基本定理及拓展

1平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基底.

注 (1)基底：不唯一，共面不共線；

(2)基底確定，對于平面內的每個向量來說，實數對λ1，λ2的值唯一確定.

2平面向量基本定理的拓展

若OA，OB不共線，O為平面內任一點，則A，B，P三點共線的充要條件是OP=λOA+μOB，其中λ，μ∈R且λ+μ=1.

證明 OP=λOA+μOB且λ+μ=1，

OP=λOA+(1-λ)#8226;OBOP-OB=λ(OA-OB)

BP=λBAA，B，P三點共線.

注 (1)條件OP=λOA+μOB且λ+μ=1也常寫成OP=λOA+(1-λ)OB的形式.

(2)當P是AB的中點時，λ=μ=12，即OP=12OA+12OB.

(3)由BP=λBA，∴|BP|=|λBA|，∴|λ|=|BP||BA|，

∴λ#8226;AP=μ#8226;PB，當且僅當P在線段AB內.

二、平面向量的基本定理及拓展應用

例1 (2007年全國卷Ⅱ)在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD=2DB，CD=13CA+λCB，則λ等于（ ）.

A23

B13

C-13

D-23

解析 由平面向量的基本定理的拓展，CA，CB不共線且A，D，B三點共線CD=13CA+λCB且13+λ=1，∴λ=23.答案：A.

例2 (2008年廣東數學理科高考)在ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若AC=a，BD=b，則AF等于（ ）.

A14a+12b

B23a+13b

C12a+14b

D13a+23b

解析 如右圖，過點A作向量AG=BD，則C，F，G三點共線.

由平面向量的基本定理的拓展，AF=λAC+μAG且λ+μ=1.

由已知，得DE=13EB.又△DEF∽△BEA，∴DF=13AB=13CD，∴FG=2CF，且λ#8226;CF=μ#8226;FG，∴λ=2μ，∴λ=23，μ=13，∴AF=23AC+13AG，即AF=23a+13b.答案：B.

例3 (2009年安徽高考)在ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點.若AC=λAE+μAF，其中λ，μ∈R，則λ+μ=.

解析 由已知，有AF=12AB+12AC，

AE=12AD+12AC.

又12AB+12AD=12AC，∴AE+AF=32AC，

即AC=23AE+23AF，∴λ+μ=43.答案：43.

例4 (2010年全國卷Ⅱ)△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB.若CB=a，CA=b，|a|=1，|b|=2，則CD等于（ ）.

A13a+23b

B23a+13b

C35a+45b

D45a+35b

解析 如圖所示，A，D，B三點共線，由平面向量的基本定理的拓展，CD=λCB+μCA，且λ+μ=1.

又 ∠1=∠2，∴|λCB|=|μCA|，

∴λ|CB|=μ|CA|，∴λ=2μ，

∴λ=23，μ=13，∴CD=23a+13b.答案：B

引導學生將平面向量基本定理進行拓展并自覺地在解決有關問題中加以應用，可以使學生將所學知識由“點”成“線”，再成“網”，分層次組成一個知識系統，從而改進和完善學生的認識結構，也可使學生在解決一個問題時，能思考一類問題，達到舉一反三的功效，有利于提高學生的應變能力，也有利于培養學生的發散性思維.

總之，對一些數學命題適當進行引申推廣，是一項富有挑戰性和創造性的活動，它不僅有利于培養學生的創新思維能力，而且對培養學生的思維品質和數學素質起著不可低估的作用.