一道課本變式題的探究

在復習中我們經常會想到一個個新穎、靈活的中考試題，這些中考試題從哪里來的？它們的原型在哪里？了解一些考題的來歷，對自己的教學方向也會有積極的意義.

原題：［蘇科版數學九年級（上冊）第26頁第7題（3）］如圖，在正方形ABCD中，點E，F，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，且GE⊥HF，垂足為M，那么GE與HF相等嗎？

本題在第（1），（2）題的基礎上，問題條件更具有一般化.本題體現了特殊和一般之間的關系，強調了轉化和運動的數學思想的應用.

改編一 上面的題目是正方形條件下的兩條互相垂直線段之間的數量關系，那么在矩形條件下，具備這樣條件的兩條線段又有怎樣的關系呢？

（中考題）如圖，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E，F，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，且GE⊥HF，垂足為M，求GEFH的值.

引導學生求比值往往聯想到相似，教師點撥后學生共同探討分析.

解答 作AP∥EG，交BC于點P，作DN∥HF交AB于N，則AP=EG，DN=HF.∵GE⊥HF，∴AP⊥DN，易證△ABP∽△DAN，∴APDN=ABAD=ab，∴GEFH=ab.

改編二 精神源于動機，滲透數學探究精神必須激發學生的探究動機.在中考題的基礎上，我們可以繼續思考，如果這個圖形是菱形，那么具備這樣條件的兩條線段又有怎樣的關系呢？

如圖，菱形ABCD中，點E，F，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，且GE⊥HF，AC=a，BD=b，那么GEFH的值與ab相等嗎？

讓學生進行討論交流，根據特殊圖形矩形的解題思路能否轉化為菱形中的情形，探討后教師引導學生進行分析.

分析 這個問題就是要說明GEFH與ACBD是否相等.如上圖，我們可以過點O作MN∥GE交CB于M，交AD于N，作PQ∥HF交CD于P，交AB于Q，則有PQ=HF，MN=GE.∵∠AON=∠COM，AO=CO，∠OAN=∠OCM，∴△AON≌△COM，則ON=OM，同理可得OQ=OP，即點O分別為AC，BD，MN，PQ的中點.這個問題就轉化為證明AOBO與NOQO是否相等，通常情況下，在菱形中∠OAN=∠OBQ不相等，∴△OAN與△OBQ不相似，∴NOQO≠AOBO，就有GEFH≠ACBD，因此GEFH的值與ab不相等.

提出問題 如果將菱形再轉化為平行四邊形，情況又怎樣呢？

在教學中，通過造成與原有認知結構之間的不和諧，產生懸念，引起學生興趣，前面我們是將特殊圖形進行變化，根據特殊圖形的性質從而解決問題的，如果我們將條件進行以下的變化，又怎樣解決呢？

改編三 如圖，如果在正方形ABCD中，把條件中的“GE⊥HF”改為“GE與HF的夾角是45°”，并假設正方形的邊長為1，FH的長為52，試求EG的長度.



引導學生回顧正方形中典型的旋轉問題，教師適當提醒學生后，采取分組討論后再教師進行評講.

分析 過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交DC于點N.∵AB=1，AM=FH=52，∴在Rt△ABM中，BM=12，將Rt△AND繞點A旋轉到△APB，易知P，B，M三點共線.∵GE與HF的夾角是45°，∴∠MAN=45°，∴∠DAN+∠MAB=45°，即∠PAM=∠MAN=45°，∴△APM≌△ANM，∴PM=NM.設DN=x，則NC=1-x，MN=x+12，在Rt△CMN中，x+122=14+（1-x）2，得x=13，∴AN=EG=1+x2=103.

本題考查的知識點有平移、旋轉、勾股定理、全等、相似及特殊四邊形的性質等.

這三條改編題都是由教材中的特殊“正方形”到“矩形”，再到“菱形”，由GE⊥HF到交角為45°的位置，由“全等”過渡到“相似”，體現了由特殊到一般之間的關系，強調了轉化的數學思想的應用.

本題的創新之處，是在中考題由特殊“正方形”到“矩形”的條件下，將“矩形”改為“菱形”，并將“垂直”改為“交角45°”，求EG的長度，比較新穎，同時又轉化成正方形中的旋轉問題，給我們一種似曾相識的感覺.

一題多變，將原命題進一步延伸、拓展成新命題.培養學生的轉向機智及思維的應變性，實現提高發散思維的變通性.通過變換條件等手段，使習題變為更有價值、有新意的新問題，從而應用更多的知識來解決問題，獲得“一題多練”“一題多得”的效果.