柯西不等式在高中數學解題中的應用

柯西不等式是個非常著名的不等式，在新教材中出現越來越多與之有關的應用.靈活而巧妙地運用柯西不等式解決相關數學問題，往往可以收到事半功倍的效果.

一、相關定理

柯西不等式是指下面的定理：

定理 設ai，bi∈R(i=1，2，…，n)，則

∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i.

當數組a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn不全為0時，等號成立當且僅當bi=λai(1≤i≤n)，其中λ為實常數.

二、柯西不等式的證明

常用的證明柯西不等式的方法有：

1配方法利用判別式證明

若∑ni=1a2i=0，則a1=a2=…=an=0，不等式顯然成立.

若∑ni=1a2i≠0，構造二次函數f(x)=∑ni=1a2i#8226;x2-2∑ni=1aibix+∑ni=1b2i=∑ni=1(aix-bi)2≥0對于x∈R恒成立，所以此二次函數f(x)的判別式Δ=-2∑ni=1aibi2-4∑ni=1a2i∑ni=1b2i≤0，即∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i.

當bi=λai(1≤i≤n)時顯然不等式取等號.當不等式取等號時Δ=0，二次函數有唯一實根設為λ，則f(λ)=(aiλ-bi)2=0，即bi=λai(1≤i≤n)，所以，柯西不等式得證.

2用向量法證明

設n維空間中有兩個向量a=(a1，a2，…，an)，b=(b1，b2，…，bn)，其中a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn為任意兩組實數.

由向量的長度定義，有|a|=a21+a22+…+a2n，b=b21+b22+…+b2n.

又由內積的定義，a#8226;b=|a||b|cosθ，其中θ是a，b的夾角，且有a#8226;b=a1b1+a2b2+…+anbn.

∵|cosθ|≤1，故|a#8226;b|≤|a||b|.

于是|a1b1+a2b2+…+anbn|≤a21+a22+…+a2n#8226;b21+b22+…+b2n，

即(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n).

當且僅當|cosθ|=1時，即a與b共線時等號成立.

由a，b共線可知，a1=λb1，a2=λb2，…，an=λbn(λ∈R)，

即a1b1=a2b2=…=anbn(bi≠0，i=1，2，…，n).

由以上，命題得證.

三、柯西不等式的應用

1證明不等式

（1）已知a，b是不相等的兩個正數，求證：(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2.

證明 (a2+b2)2=(a×a3+b×b3)2≤［(a)2+(b)2］#8226;［(a3)2+(b3)2］=(a+b)(a3+b3).

由a≠b知等號取不到.所以(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2.

（2）如果x，y，z≥1且1x+1y+1z=2，證明：x+y+z≥x-1+y-1+z-1.

證明 注意到1x+1y+1z=2，又由柯西不等式，得

x+y+z#8226;x-1x+y-1y+z-1z≥x-1+y-1+z-1.

而x-1x+y-1y+z-1z=3-1x+1y+1z=1，所以不等式得證.

2求函數的最值

（1）設x2+y2+z2=100，求f(x，y，z)=3x+4y+12z的最大值.

解 由柯西不等式，得

(3x+4y+12z)2≤(x2+y2+z2)#8226;(32+42+122).

∴3x+4y+12z≤100(32+42+122)=130，

從而f(x，y，z)=3x+4y+12z的最大值是130.

（2）求f(θ)=4cos2θ+9sin2θ的最小值.

解 設向量a=2cosθ，3sinθ，b=(cosθ，sinθ)，由柯西不等式知，(2+3)2≤4cos2θ，9sin2θ(cos2θ+sin2θ)，所以f(θ)=4cos2θ+9sin2θ的最小值是25.

3求解方程組

（1）解方程組2x+y=5，9x2+4y2=35.

解 由柯西不等式知，

［(3x)2+(2y)2］#8226;232+122≥(2x+y)2，

即9x2+4y2≥52232+122=36>35，故方程組無解.

（2）在實數集內解方程組x2+y2+z2=94，-8x+6y-24z=39.

解 由柯西不等式，得

(x2+y2+z2)［(-8)2+62+(-24)2］≥(-8x+6y-24z)2.①

∵(x2+y2+z2)［(-8)2+62+(-24)2］=94×(64+36+4×144)=392，

又 ∵(-8x+6y-24z)2=392，

∴(x2+y2+z2)［(-8)2+62+(-24)2］=(-8x+6y-24z)2，即①式取等號.

由柯西不等式取等號的條件有x-8=y6=z-24.②

②式與-8x+6y-24z=39聯立，則有x=-613，y=926，z=-1813.