淺談導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用

【摘要】函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，掌握函數(shù)最值的求法對(duì)解決數(shù)學(xué)問題有極大的幫助.而解此類題最重要的手段就是通過求導(dǎo)來解決，文章列舉了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的多種運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)最值；函數(shù)單調(diào)性；函數(shù)思想；等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；求導(dǎo)

求函數(shù)最值是歷年高考考查的重要內(nèi)容，它除了在函數(shù)綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)，還常出現(xiàn)在其他類型題中，如平面幾何、立體幾何的綜合題中，在實(shí)際問題中考查最值也是常見考題，而解此類題最重要的手段就是通過求導(dǎo)來解決，現(xiàn)對(duì)導(dǎo)數(shù)在求最值時(shí)的應(yīng)用小結(jié)如下：

應(yīng)用一 求簡(jiǎn)單函數(shù)的最值

若函數(shù)y=f(x)在［a，b］上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，在［a，b］內(nèi)必有最大值與最小值，此類問題只要通過求導(dǎo)數(shù)，列表求極值，再將所求極值與兩端點(diǎn)處函數(shù)值f(a)，f(b)進(jìn)行比較就可最終確定下來最大值、最小值了.

例1 求函數(shù)f(x)=12x+sinx在區(qū)間［0，2π］上的最大值與最小值.

解 f′(x)=12+cosx，

令f′(x)=0，解得x1=23π，x2=43π.

列表：

x00，23π23π23π，43π43π43π，2π2π

f(x)0π3+3223π-32π

從表可知，函數(shù)f(x)的最大值是π，最小值是0.通過本例可見，此類題求解的關(guān)鍵是一定要將極值與端點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行比較，從而最終確定最大值、最小值.

應(yīng)用二 利用導(dǎo)數(shù)求較復(fù)雜的函數(shù)最值問題

解決此類問題一般要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、換元等思想，將復(fù)雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的函數(shù)最值問題來求解.

例2 已知x，y為正實(shí)數(shù)，且滿足x2-2x+4y2=0，求xy的最大值.

分析 本題中有兩個(gè)變量，屬于條件最值問題，可將xy轉(zhuǎn)化為某一變量的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.

解 4y2=2x-x2.

∵y>0，∴y=122x-x2，xy=12x#8226;2x-x2.

由x>02x-x2≥00

設(shè)f(x)=12x2x-x2(0

當(dāng)0

令f′(x)=0，得x=32或x=0（舍去）.

當(dāng)x在(0，2］內(nèi)變化時(shí)，f′(x)，f(x)有如下變化情況：

∴當(dāng)x=32時(shí)，f(x)的極大值為383，亦即xy的最大值為383.

另外，此題亦可運(yùn)用換元法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解決，但無論用什么方法都要注意在轉(zhuǎn)化過程中變量的取值范圍，必須滿足題設(shè)條件.

應(yīng)用三 利用導(dǎo)數(shù)求解與最值有關(guān)的證明問題

此類問題一般是不等式的證明問題，通常將不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值與最小值來求解，在此類題中函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等在其中都有體現(xiàn).

例3 求證：lnx+1x-12(x-1)2≥1+23(1-x)3.

分析 要證lnx+1x-12(x-1)2≥1+23(1-x)3，

只需證lnx+1x-12(x-1)2-1-23(1-x)3≥0(x>0)，

成立即可，而要證明lnx+1x-12(x-1)2-1+23(1-x)3≥0成立，只需令f(x)=lnx+1x-12(x-1)2-1+23(x-1)3，求f(x)在(0，+∞)上的最小值即可.

證明 設(shè)f′(x)=1x-1x2-(x-1)+2(x-1)2=(x-1)3#8226;2x+1x2.

令f′(x)=0，結(jié)合x>0，得x=1.

當(dāng)01時(shí)，f′(x)>0.

所以f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在(1，+∞)上為增函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取最小值f(1)=1，從而當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≥1恒成立.

即lnx+1x-12(x-1)2≥1+23(1-x)3成立.

綜上可見，與函數(shù)最值有關(guān)的問題雖然形式多樣，但只要運(yùn)用求導(dǎo)的思想，所有問題都可以迎刃而解.