習題課的教學中讓學生在“爭吵”中實現思維的飛躍

數學思維能力在形成理性思維中發揮著獨特的作用，這也是數學教育的基本目標之一，而思維能力的差異主要源于思維品質的優劣.思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現，它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質.所以我認為在日常數學教學過程中尤其是在習題課的教學中應該充分挖掘一些典型的習題，對于具體的數學問題，既要掌握基礎知識達到知識技能目標的要求，也要有意識地充分培養鍛煉學生形成良好的思維品質，從而提高學生的思維能力，逐步養成嚴謹的科學態度，實現情感態度與價值觀的教學目標.

如何有效的組織高中數學解題教學，是長期以來數學教學研究中最熱門的課題.所以我們在教學的過程中不僅要求學生直接參與解題，更要求學生能參與解題的思維活動.解題活動是學生在數學學習中最具有獨立性和創造性的活動，它對發展學生的思維，培養學生的能力，促進學生形成良好品質方面具有重要的作用.

新教材引進導數之后，無疑為中學數學尤其是函數的教學注入了新的活力，它在研究函數的單調性、極值、最值等方面有著廣泛的應用.導數的應用一直是高考試題的重點和熱點之一，筆者用下面一案例來加以說明.

例 已知函數f(x)=ax3+bx2+(b-a)x（a，b為不同時為零的常數），導函數為f′(x).問：函數y=f′(x)在(-1，0)內是否有零點？

分析 一般的，若函數y=f(x)在區間［a，b］上的圖像是一條不間斷的曲線，且f(a)#8226;f(b)<0，則函數y=f(x)在區間(a，b)上有零點.根據這個事實筆者給出此題的兩種解法如下：

解法一 f′(x)=3ax2+2bx+(b-a).

當a=0時，x=-12適合題意；

當a≠0時，3x2+2#8226;bax+ba-1=0，

令t=ba，則3x2+2tx+(t-1)=0.

令h(x)=3x2+2tx+(t-1)，∵h-12=-14<0，

當t>1時，h(0)=t-1>0，

∴y=h(x)在-12，0內有零點；

當t≤1時，h(-1)=2-t≥1>0，

∴y=h(x)在-1，-12內有零點.

因此，當a≠0時，y=h(x)在(-1，0)內至少有一個零點.

綜上可知，函數y=f′(x)在(-1，0)內至少有一個零點.

解法二 f′(x)=3ax2+2bx+(b-a).

f′(0)=b-a，f′(-1)=2a-b，f′-13=b-2a3.

由于a，b不同時為零，

∴f′-13#8226;f′(-1)<0，故結論成立.

教學反應 筆者在對這一道題目講評時，學生卻對上述兩種解法“不屑一顧”.有不少學生認為這兩種解法雖然正確，化歸的目的也明確，但是化歸的方式卻不易在較短時間內做到.更有甚者他們在思考的過程中提供了一種似乎更加簡單的解題思路.正是這種解題思路引起了不少“是非”，學生對此討論熱烈.筆者現將其討論過程大致整理如下：

學生分析過程：（正方表示提出觀點的部分學生，反方表示反對這種觀點的部分學生）

正方：已知函數f(x)=ax3+bx2+(b-a)x（a，b為不同時為零的常數）圖像是連續不斷的，且滿足f(-1)=f(0)，則函數f(x)必在區間(-1，0)存在極值.根據極值存在的條件知在區間(-1，0)內必有一個值x0使得f′(x0)=0成立.所以函數f′(x)=0在區間(-1，0)至少存在一個零點.

反方：對此函數f(x)滿足f(-1)=f(0)就斷言其函數f(x)在區間(-1，0)上有極值未必太草率了.

正方：對于一個連續函數而言，無論怎么畫圖，由f(-1)=f(0)，在區間(-1，0)上不可能是單調的，所以此函數必然有極值.

反方：在對此題的解答過程中能否將這個結論加以證明呢？或者將其化歸為一個一般化的結論然后再證明呢？

……

于是筆者引導學生對此問題進行了熱烈的討論.在教師的引導下最后筆者將學生對此問題探究的結果用一個定理和一個結論來作如下說明.證明略.

定理 如果一個三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有極值，則它必有兩個極值且一個極大值、一個極小值.

結論 如果三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(m)=f(n)，則此函數f(x)在區間(m，n)上必有極值.

以上案例就是筆者在課堂的教學中學生因“不服”習題的標準解答而引發對此題另外一種解答的爭議.在“爭吵”中完成了對三次函數極值問題的討論.如何有效地組織高中數學解題教學，是歷年數學教學研究中最熱門的課題.所以我們在教學的過程中不僅要求學生直接參與解題，更迫切希望學生能參與解題的思維活動中去，敢于發現并提出自己的見解.