由高考談三角恒等變換及應用

【摘要】三角函數的化簡、求值及三角恒等式的證明是三角變換的基本問題.歷年高考中，在考查三角公式的掌握和運用的同時，還注重考查思維的靈活性和發散性，以及觀察能力、運算推理能力和綜合分析能力.從近幾年的高考考查的方向來看，這部分的高考題以選擇、解答題出現的機會較多，有時候也以填空題的形式出現，它們經常與三角函數的性質、解三角形及向量聯合考查，主要題型有三角函數求值、通過三角式的變換研究三角函數的性質，分值約占5%.因此能否掌握好本重點內容，在一定的程度上制約著高考數學成績的提高.“變”是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換、三角函數名的變換、三角函數次數的變換、三角函數式表達形式的變換等比比皆是，在訓練中，強化“變”的意識是關鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習題進行歸類，并進行分析比較，尋找解題規律.

【關鍵詞】高考試題；三角恒等；變換及應用

一、三角函數式的化簡

（1）常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，齊次弦化切，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用；④常數的變換等.

（2）化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數種數盡量少；③使項數盡量少；④盡量使分母不含三角函數；⑤盡量使被開方數不含三角函數.

例1 （1995年全國理）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值.

解析 原式＝12（1-cos40°）＋12（1＋cos100°）＋ 12（sin70°-sin30°）

＝1＋12（cos100°-cos40°）＋12sin70°-14

＝34-sin70°sin30°＋12sin70°

＝34-12sin70°＋12sin70°＝34.

例2 化簡：

12-1212+12cos2αα∈3π2，2π.

分析 若注意到化簡式是開平方根，2α是α的二倍，α是α2的二倍以及其范圍，不難找到解題的突破口.

解 ∵3π2<α<2π，

∴12+12cos2α=|cosα|=cosα.

又 ∵3π4<α2<π，

∴12-12cosα=sinα2=sinα2，∴原式=sinα2.

點評 在二倍角公式中，兩個角的倍數關系，不僅限于2α是α的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數關系，同時還要注意2α，π4+α，π4-α三個角的內在聯系和作用，cos2α=sinπ2±2α=2sinπ4±αcosπ4±α是常用的三角變換.

二、三角函數的求值類型有三類

（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數值問題.

（2）給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于“變角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論.

（3）給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數值結合所求角的范圍及函數的單調性求得角.

三、三角等式的證明

（1）三角恒等式的證題思路是根據等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”.

（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發現已知條件和待證等式間的關系，采用代入法、消參法或分析法進行證明.

例3 已知tanα，tanβ是方程x2-5x+6=0的兩個實根，求2sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)+cos2(α+β)的值.

分析 由韋達定理可得到tanα+tanβ及tanα#8226;tanβ的值，進而可以求出tan(α+β)的值，再將所求值的三角函數式用tan(α+β)表示便可知其值.

解 由韋達定理，得tanα+tanβ=5，tanα#8226;tanβ=6，

∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα#8226;tanβ=51-6=-1.

于是有α+β=kπ+34π(k∈Z)，

原式=2sin2kπ+34π-32sin2kπ+32π+ cos2kπ+34π

=1+32+12=3.

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點評 好的解法來源于熟練地掌握知識的系統結構，從而尋找解答本題的知識“最近發展區”.

【參考文獻】

［1］數學課程標準［S］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］王毅明.全國數學高考試題匯編.北京：機械工業出版社.