活用二次函數圖像與系數符號的關系解題

二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與其系數的符號有著十分密切的關系：

a，b，c的代數式決定圖像的特征說 明

a決定拋物線的開口方向a>0開口向上

a<0開口向下

c決定拋物線與y軸交點的位置，交點的坐標為(0，c)c>0與y軸交點在x軸上方

c=0拋物線過原點

c<0與y軸交點在x軸下方

-b2a決定對稱軸的位置，對稱軸為x=-b2aab>0對稱軸在y軸左側

ab<0對稱軸在y軸右側

b=0對稱軸是y軸

我們既可以根據a，b，c的符號判定拋物線的位置，也可以根據拋物線的位置確定a，b，c的符號或關系.下面以中考試題為例，談談這類問題的解法，供同學們學習時參考.

一、由系數符號確定拋物線的位置

例1 （2007年吉安市）已知a<0，b>0，c>0，那么拋物線y=ax2+bx+c的頂點在( ).

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

分析 欲確定拋物線y=ax2+bx+c的頂點位置，只需判定-b2a，4ax-b24a的符號即可.

解 由a<0，b>0，知x=-b2a>0.又由c>0，知4ac-b2<0，∴y=4ac-b24a>0，∴拋物線的頂點在第一象限內.故選A.

二、由拋物線的位置確定a，b，c的符號

例2 （蘭州市）二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖1所示，則點A(ac，bc)在( ).圖 1

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

分析 通過觀察圖像，可直接得到a<0，c>0，再結合對稱軸x=-b2a>0，可判斷出b>0，從而問題得解.

解 由二次函數y＝ax2＋bx＋c圖像可知：a<0，c>0，

∵對稱軸x>0，在y軸右側，即-b2a>0，

∴b>0，∴ac<0，bc>0，即點A(ac，bc)在第二象限.故選B.

例3 （濟南市）已知y＝ax2+bx的圖像如圖2所示，則y＝ax-b的圖像一定過( ).圖 2

A第一、二、三象限

B第一、二、四象限

C第二、三、四象限

D第一、三、四象限

分析 通過觀察圖像可以知道a和b的符號，從而可以判斷出y＝ax-b的圖像一定過的象限.

解 由圖可知a＜0，又由頂點可知-b2a＞0，∴b＞0，

∴y＝ax-b的圖像一定過第二、三、四象限.故應選C.

三、綜合運用圖像和a，b，c的符號特征解決相關問題

圖 3

例4 （2007年南充市）如圖3是二次函數y＝ax2＋bx＋c圖像的一部分，圖像過點A（-3，0），對稱軸為x＝-1.給出四個結論：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a-b＋c=0；④5a＜b.其中正確結論是( ).

A②④

B①④

C②③

D①③

分析 觀察所給的拋物線圖像，開口向下，知a<0，對稱軸在y軸左側，知x=-b2a=-1，可得2a-b=0.拋物線與x軸交于不同的兩點，知b2-4ac>0，由圖像過點A（-3，0），對稱軸為x＝-1，可推得與x軸的另一交點為（1，0），故當x=1時，a+b＋c=0.由2a-b=0，得b=2a，于是一定有5a＜b.

解 由以上分析知②③有誤，應該選B.