貫徹新課改理念 培養自主探究能力
2012-04-29 00:00:00劉天順
數學學習與研究 2012年3期
【摘要】引導學生通過對命題“已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，求證：a2，a8，a5成等差數列”進行一系列的探究推廣，得出命題：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，且公比q≠1，則Sk，S3k，S2k成等差數列的充要條件是an，an+2k，an+k成等差數列(其中n，k∈N+).
【關鍵詞】培養；學生；探究；意識；能力
2010年秋季，新課程改革在甘肅省全面實施，豐富學生的學習方式，改進學生的學習方法是新課改追求的基本理念.新課改提倡學生獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流的學習方式，因此越來越受到教育工作者的普遍重視.
人教版2006版全日制普通高級中學教科書﹙必修﹚數學課本第一冊（上）P142有一道這樣的例題：
已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，求證：a2，a8，a5成等差數列.
其證明如下:由S3，S9，S6成等差數列，得S3＋S6=2S9.
這里q≠1，事實上，如果q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.由a1≠0，得S3＋S6≠2S9，與題設矛盾，所以q≠1.
由S3＋S6=2S9，得
a1(1-q3)1-q＋a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q.①
整理，得q3+q6=2q9.
由q≠0，得1+q3=2q6.②
因此，a1q+a1q4=2a1q7.③
即a2+a5=2a8.
所以a2，a8，a5成等差數列.
在引導學生完成上述證明的過程中由于逐漸意識到本題絕大多數證明步驟可逆，于是突然產生第一個疑問，并順便將自己的想法告訴了學生：這個命題的逆命題成立嗎？事實上，仔細觀察不難發現問題的關鍵在于①，②兩式之間，由②式推導①式時只需加條件q≠1即可.于是我們得到：
已知Sn是等比數列{an}的前n項和，且公比q≠1，則S3，S9，S6成等差數列的充要條件是a2，a8，a5成等差數列.
之后又注意到a2，a8，a5中序號的差異及由②到③的變形過程得到a1，a7，a4;a3，a9，a7;a4，a10，a7;a5，a11，a8…也成等差數列，于是又有了第二個疑問：an，an+6，an+3（n∈N+）是等差數列嗎？其實只要在②式的兩邊同時乘以an，即可得到an+an+3=2an+6（n∈N+）.所以若S3，S9，S6成等差數列，則an，an+6，an+3（n∈N+）成等差數列.反之，q≠1時逆命題也成立.
此時有些學生急忙喊出條件S3，S9，S6成等差數列也可推廣，其項數3，6，9也相差3，可推廣為Sk，Sk+6，Sk+3成等差數列，于是師生又共同證明了：若Sk，Sk+6，Sk+3成等差數列，則an，an+6，an+3（n∈N+）成等差數列.q≠1時逆命題也成立.
之后有些同學又注意到上述情況其實都是特殊情形，其一般情形應是：若Sk，S3k，S2k成等差數列，則an，an+2k，an+k成等差數列.當q≠1時逆命題也成立，其中n，k∈N+.
綜上所述，已知Sn是等比數列{an}的前n項和，且公比q≠1，則Sk，S3k，S2k成等差數列的充要條件是an，an+2k，an+k成等差數列(其中n，k∈N+).
這樣，對該題的探究推廣也就得到了圓滿的解決.
臨下課了，我又想起了課本P144的習題3.5第7題：已知數列{an}是等比數列，Sn是其前n項和，a1，a7，a4成等差數列，求證：2S3，S6，S12-S6成等比數列.請同學們思考，該題能否推廣，仿照此例課外進行探究.
我們發現引導學生通過這樣的探究，使學生獲得了自主探究的機會，經歷了一個發現問題、提出問題、解決問題的學習過程.從學生的課堂表情看出，他們感受到了發現與成功的喜悅，學習的積極性得到了很好的發揚.課堂問題的解決方法并不是事先藏在教師頭腦中的謎底，而是師生共同探究的思維成果.因此，如果我們在平時的教學中不過分拘泥于長期形成的“規范”，而是善于捕捉課本例題或習題中學生的“金子般閃光”的“意外”想法，抓住其合理的成分引導學生進行自主探究，相信我們的課堂教學一定是優質高效的！
【參考文獻】
［1］刑永富.現代教育思想.北京：中央廣播電視大學出版社，2001.
［2］張汝新.數學探究性教學的現狀與改進建議.西安：中學數學教學參考，2005（8）.
