平面向量基本定理在解決向量問(wèn)題中的應(yīng)用

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中平面向量一直是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，這一部分的內(nèi)容在數(shù)學(xué)各個(gè)方面都有較廣的應(yīng)用，重視這一方面內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提高有著重要的意義.本文主要從平面向量的基本定理出發(fā)，利用各種教學(xué)中的實(shí)例，針對(duì)其在向量?jī)?nèi)容中的應(yīng)用進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】平面向量；基本定理；應(yīng)用

平面向量問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中一直以一種數(shù)學(xué)工具的形式出現(xiàn)，在很多的數(shù)學(xué)內(nèi)容中都涉及了這一問(wèn)題，與此同時(shí)在進(jìn)行向量問(wèn)題研究時(shí)，很多其他的數(shù)學(xué)知識(shí)也被大量的應(yīng)用，從這點(diǎn)來(lái)看，向量問(wèn)題很好的體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)知識(shí)間的相互聯(lián)系和遷移.具體到向量問(wèn)題，在高考中的考查越來(lái)越頻繁，其中以平面向量基本定理的考查最為突出，占據(jù)了高考向量?jī)?nèi)容的大部分內(nèi)容.

所謂平面向量基本定理指的是：a，b是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量c來(lái)說(shuō)，有且僅有一組數(shù)x，y，能夠滿足c=xa+yb，在這其中a，b被稱為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

對(duì)定理的理解：

(1)實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）存在的唯一性：平面內(nèi)任一向量c均可以用給定的基底a，b線性表示成c=xa+yb，且這種表示是唯一的，其集合意義是任一向量都可以兩個(gè)不平行的方向分解成兩個(gè)向量的和，且分解是唯一的.

（2）基底的不唯一性：平面內(nèi)任意兩個(gè)向量，只要不共線，便可以作為平面內(nèi)全體向量的一組基底.

（3）“定理”展性：“定理”以二維向量空間為依托，可以拓廣到n維向量空間.

從以往高考對(duì)平面向量定理的考查角度來(lái)說(shuō)，主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行考查：第一，a，b作為平面向量基底時(shí)的限制條件；第二，對(duì)于定義中x，y存在的唯一性的理解與記憶；第三，通過(guò)平面向量基本定理的定義，解決向量的線性問(wèn)題.這三方面的考查在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，因此本文主要從這三點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)典型的實(shí)例對(duì)其進(jìn)行講解.

例1 已知f1，f2是某一平面向量的基底，如果a=f1+λf2，b=-2λf1-f2同樣也是一組平面向量的基底，那么λ∈.

解析 從這道例題我們可以得到這樣的限制條件，因?yàn)閍，b是平面向量的基底，所以我們可以從平面向量基本定理的定義出發(fā)得到，a，b不能夠共線，用數(shù)學(xué)公式來(lái)表示就是b=μa(μ∈R)，將已知的式子代入就可以得到-2λf1-f2=μ（f1+λf2），將式子整理后得到：-2λ=μ，-1=μλ.解這一方程組我們可以得到λ=±22，因此這一例題的答案也就得到了，即是λ∈λ|λ≠±22.

總結(jié) 要想將兩個(gè)向量當(dāng)作是某個(gè)平面向量的基底，就必須要滿足這兩個(gè)向量不共線這一個(gè)充分必要條件，不共線的數(shù)學(xué)判別式為b=μa(μ∈R)這個(gè)式子不成立，在對(duì)平面向量的基本定理的理解時(shí)應(yīng)該充分注意到這一點(diǎn).將這一點(diǎn)作為平面向量最基礎(chǔ)的知識(shí)，牢牢掌握.

例2 在某一平面N中有這樣兩個(gè)向量a，b，它們彼此不共線，而向量c是平面N中的任意向量，那么關(guān)于x的方程：ax2+bx+c=0的解的情況是.

解析 通過(guò)題目的已知條件分析，因?yàn)閍x2+bx+c=0，所以可得到c=-ax2-cx.又因?yàn)閏是平面中的任意向量，所以可以得到c=λa+μb，并且對(duì)于特定的c而言，λ，μ是唯一的，那么我們就可以得到-x=μ，-x2=λ，經(jīng)過(guò)整理后我們很容易能夠得到-λ=μ2.又由于c是任意一個(gè)向量，所以我們可以推出x最多只能有一個(gè)解.

總結(jié) 通常將這樣平面向量與一元二次方程相結(jié)合的題目放在學(xué)生面前時(shí)，學(xué)生常常會(huì)按照以前的思維定式根據(jù)所給的方程去求解其對(duì)應(yīng)的Δ，然后再根據(jù)Δ與0的關(guān)系來(lái)判斷根的情況，如果Δ大于0，那么就有兩個(gè)根，如果Δ小于0，那么就沒(méi)有根，如果Δ等于0，那么就有兩個(gè)相等的根.但是采用這樣傳統(tǒng)的方法并不能求得最終的結(jié)果，經(jīng)過(guò)分析不難看出產(chǎn)生這種錯(cuò)誤思維的一個(gè)重要原因就是，學(xué)生根本沒(méi)有充分的理解和掌握平面向量基本定理的概念，沒(méi)有形成一種用向量的定理去分析問(wèn)題的思維.因此，學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)和做題的過(guò)程中應(yīng)該充分的理解和掌握平面向量基本定理的概念，并能夠利用它進(jìn)行一些相關(guān)題目的解答.

例3 O是△ABC的外心，并且這個(gè)三角形的邊b=4，a=27，c=6，如果AO=xAB+yAC，那么（x，y）=.

分析 經(jīng)過(guò)分析我們可以作出上面的圖形，根據(jù)平行四邊形法則，也就是需要計(jì)算出平行四邊形AMON的兩條邊AM，AN的長(zhǎng)度就可以了，我們可以利用三角形的有關(guān)知識(shí)對(duì)其進(jìn)行求解.

解 根據(jù)余弦定理我們可以很容易得到：

cosA=b2+c2-a22bc=12，∴∠A=π3.

根據(jù)正弦定理可得2R=a2sinA=4213，

∴OA=R=2213.

又 ∵AD=3，∴OD=AO2-AD2=33，

∴∠OMD=∠A=60°，

∴AN=OM=23，MD=13，

∴AM=3-13=83，

∴x=AMAB=49，y=ANAC=16，

∴該題目的結(jié)果（x，y）=49，16.

總結(jié) 這一類型的問(wèn)題是一種平面向量基本定理的基本應(yīng)用方式，關(guān)系到兩個(gè)不共線的向量線性問(wèn)題的使用方法，通常情況下這種條件下有兩種較為常用的方法，即利用三角形的有關(guān)知識(shí)，將平面向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成幾何性質(zhì)的問(wèn)題進(jìn)行解答；另外一種就是創(chuàng)建一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，將原有的集合問(wèn)題轉(zhuǎn)換成代數(shù)的形式，這種方法是一種典型的數(shù)形結(jié)合的方法，在數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為常見(jiàn).學(xué)生在剛開(kāi)始接觸這道例題時(shí)很難找到相應(yīng)的解題方法，但是如果采用以上兩種方法中的任意一種方法，都可以輕易地找到突破口，下面的關(guān)鍵問(wèn)題就是在于運(yùn)算上的準(zhǔn)確性了.

上述例題經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化后還可以成為這樣一道例題：

例4 已知O是三角形的外心，且AB=2，AC=3，x+2y=1，如果AO=xAB+yAC，且xy≠0，那么cos∠BAC=.

分析 這道題目利用集合的方法進(jìn)行解答的話存在一定的困難，因此我們可以考慮利用建立平面直角坐標(biāo)系的方法進(jìn)行求解.

解 設(shè)∠BAC=α，點(diǎn)M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，那么，B（2cosα，2sinα），C(3，0)，假設(shè)點(diǎn)O32，y0.

∵已知ON⊥AB，而且將AB平分，

∴點(diǎn)N為（cosα，sinα），∴kON#8226;kAB=-1，

∴y0=1-32cosαsinα，∴點(diǎn)O的坐標(biāo)為32，1-32cosαsinα .

又 ∵已知AO=xAB+yAC，且xy≠0，將其代入就可以得到方程組：2xcosα+3y=32，1-32cosαsinα#8226;2xsinα.

又 ∵x+2y=1，將其代入就可以得到cosα=34.

上述這種解題方法在日常的練習(xí)中經(jīng)常看到，但是這種方法的運(yùn)算量較大，學(xué)生在具體運(yùn)算的時(shí)候很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，尤其在考試的時(shí)候，常常花費(fèi)了大量的時(shí)間，但是最后卻在這道題上拿不到分.我們還可以利用下面這種更加簡(jiǎn)便的方法.

通過(guò)仔細(xì)觀察x+2y=1這一式子，我們能夠聯(lián)想到這樣一個(gè)定理：AO，OB不共線，那么要想使A，B，C三點(diǎn)共線的充分必要條件就是，有這樣一個(gè)實(shí)數(shù)組x，y，能夠使OC=xOA+yOB，與此同時(shí)滿足x+y=1.

根據(jù)這一定理，上述這一例題就可以這樣來(lái)解：因?yàn)锳O=xAB+yAC=xAB+2yAM，又因?yàn)閤+2y=1，所以，點(diǎn)O，B，M處于同一條直線上，也就是說(shuō)BM垂直平分AC，所以，△BAC是一個(gè)等腰三角形，那么根據(jù)余弦定理可知，cos∠BAC=34.

總結(jié) 上述這一定理在向量問(wèn)題中的應(yīng)用較為廣泛，在多次的高考題目中都有出現(xiàn)和應(yīng)用，平面向量定理與共線向量定理二者相互結(jié)合應(yīng)用，能夠使一些原本復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、明了，對(duì)于學(xué)生靈活掌握向量問(wèn)題有著重要的意義和作用.

4平面向量基本定理除了上述的一些應(yīng)用方法外，在一些證明性的題目中也有廣泛的應(yīng)用.

例5 已知a，b，c三者都不為0，并且（a#8226;b）c=(b#8226;c)a=0，證明：a∥c.

證明 如果a，c兩者之間不是相互平行，那么由已知（a#8226;b）c=(b#8226;c)a=0，就能夠得到a#8226;b=b#8226;c=0.又因?yàn)閎=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，在等式的兩邊同時(shí)與b做數(shù)量積就能夠得到這樣的等式b2=λ1（a#8226;b）+λ2(b#8226;c)=0，那么很顯然得到b=0，這樣與題目給出的已知條件正好相反.所以a∥c.

例6 已知向量OP1和OP2是兩個(gè)不共線的向量，點(diǎn)P是直線P1P2上P1，P2以外的點(diǎn)，并且滿足OP=xOP1+yOP2(x，y∈R)，證明：x+y=1.

證明 ∵從已知可以看出，P1，P2，P三點(diǎn)在同一條線上，

∴就會(huì)存在這樣一個(gè)數(shù)α∈R使得P1P=αPP2，亦即OP-OP1=α（OP2-OP1），∴OP=11+αOP1+11+αOP2.根據(jù)平面向量基本定理概念中實(shí)數(shù)對(duì)的唯一性，我們可以得到以下方程組：x=11+α，y=11+α，∴x+y=1.

總之，向量是“形”與“數(shù)”的結(jié)合體，用來(lái)表示一個(gè)既有大小又有方向的量，是幾何與代數(shù)知識(shí)的交會(huì)點(diǎn).由于這種獨(dú)特的“數(shù)形”特征，決定了向量具有幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份，所以運(yùn)用向量方法解題，能使問(wèn)題的解決形象化、算法化、簡(jiǎn)潔化.運(yùn)用平面向量基本定理解決向量有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)于概念的深刻理解并注意靈活運(yùn)用，這樣，在夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)，將提高我們的綜合運(yùn)用能力和創(chuàng)新能力.

【參考文獻(xiàn)】

［1］唐興中.平面向量基本定理及其應(yīng)用.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007(9).

［2］朱峰.平面向量基本定理的應(yīng)用.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2003(5).

［3］錢(qián)照平.關(guān)于平面向量基本定理的幾個(gè)結(jié)論.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2009(6).