糾正一個流行的錯誤

有這樣一道很著名的題：

問題1 求橢圓的內接矩形的最大面積.

本題的解法也很“有名”：

解 設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由對稱性可知，內接矩形的邊平行于坐標軸.設內接矩形ABCD在第一象限的頂點為A(acosα，bsinα)，則SABCD=4acosα#8226;bsinα=2absin2α≤2ab.

結論是正確的，但深層次的原因沒有找到.

本文先給出三角形的一個面積公式，然后解決更一般的問題.

圖 1

定理 如圖1，設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，O為坐標原點，則

S△OAB=12|x1y2-x2y1|.（1）

證明 當直線AB的斜率不存在時，有x1=x2，結論顯然是成立的.

當直線AB的斜率存在時，直線AB的方程是

y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)，

即(y2-y1)x-(x2-x1)y+x2y1-x1y2=0.

原點到直線AB的距離d=|x2y1-x1y2|(x1-x2)2+(y1-y2)2，

∴S△OAB=12d#8226;|AB|

=12#8226;|x2y1-x1y2|(x1-x2)2+(y1-y2)2#8226; (x1-x2)2+(y1-y2)2

=12|x1y2-x2y1|.



綜上所述，結論成立.

這個公式可稱為三角形的坐標面積公式.當三角形沒有一個頂點在原點時，可用平移方法得到面積公式，本文不作討論.

注 已知三角形的三個頂點，其面積可由三個頂點坐標的行列式算出，由于教材中沒有這部分內容，所以我們采用了一個變通的方法.

下面用公式（１）解決更一般的問題.

問題2 求橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的內接平行四邊形的最大面積.

解 引理：橢圓的一組平行弦的中點的軌跡是一條過中心的弦（直徑），并且若平行弦的斜率不存在，則軌跡就是長軸；若平行弦的斜率為０，則軌跡就是短軸；若平行弦的斜率為k(k≠0)，則軌跡所在直線的斜率為-b2a2k.

圖 2

現設ABCD為橢圓的內接平行四邊形，設一組對邊AB，CD中點為M，N，由引理知，中位線MN所在直線過橢圓的中心，同理，另一條中位線PQ所在直線也過橢圓中心，而兩條中位線的交點恰是平行四邊形的中心，故平行四邊形的中心與橢圓的中心重合.

如圖2，ABCD是橢圓的內接矩形，則SABCD=4S△OAB.

設A(acosα，bsinα)，B(acosβ，bsinβ)，則

S△OAB=12|acosα#8226;bsinβ-acosβ#8226;bsinα|

=ab2|cosαsinβ-sinαcosβ|

=ab2|sin(α-β)|≤ab2，



從而SABCD≤2ab（當且僅當|sin(α-β)|=1取等號）.

現設ABCD是橢圓的內接矩形，若對邊AB和CD的斜率為k(k≠0)，則這兩邊中位線的斜率為-b2a2k，而這正是鄰邊AD的斜率.∵AB⊥AD，∴-b2a2k#8226;k=-1，即a2=b2，此不可能，所以AB的斜率為０，因此，橢圓的內接矩形的邊平行于對稱軸.由上面的解答可知，其最大面積為2ab（取到最大面積的充要條件同上）.

由以上分析可知，橢圓的內接矩形的邊平行于對稱軸不能由橢圓的對稱性簡單推出.

【參考文獻】

張澤湘.二次曲線.上海：上海教育出版社，1981.