對圓面積計算方法的兩點拓展

對圓面積計算方法的兩點拓展

王治民

（甘肅省隴西縣實驗小學(xué) 甘肅 定西 748100）

摘 要：要計算圓的面積，根據(jù)公式S =πr²，必須先知道半徑，通過長期研究，我發(fā)現(xiàn)在\"圓的面積\"計算中，學(xué)生出錯的原因除了計算能力不足外，更多的是已知直徑和周長求半徑時，思維混亂，方法不清。經(jīng)過反復(fù)推敲，我覺得運用中學(xué)數(shù)學(xué)中分式平方的方法，對小學(xué)圓的面積計算方法進行“合理拓展”，雖然超出了小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍，與小學(xué)階段圓面積計算方法的推導(dǎo)原理也有出入，但它符合代數(shù)思想，理論上完全成立。

關(guān)鍵詞：圓的面積；計算；拓展

中圖分類號：G622.0 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）16-205-01

圓的面積計算，是小學(xué)幾何圖形面積教學(xué)中的難點，也是圓柱底面積、側(cè)面積和體積計算的基礎(chǔ)。教學(xué)中，通過課件或教具的直觀演示，讓學(xué)生理解并掌握圓面積的計算方法并不困難，但具體計算中的錯誤卻相當(dāng)嚴(yán)重。因為對學(xué)生而言，根據(jù)公式S =πr²，要計算圓的面積，必須先知道半徑，所以實際運算中，當(dāng)學(xué)生面對已知直徑或周長求面積的問題時，必須先經(jīng)過相應(yīng)的運算求得半徑，然后進行面積的計算。通過長期跟蹤研究，我發(fā)現(xiàn)在\"圓的面積\"計算中，學(xué)生出錯的原因除了計算能力不足外，更多的是已知直徑和周長求半徑時，思維混亂，方法不清。就是說，“已知直徑求半徑”和“已知周長求半徑”是導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)錯誤的“罪魁禍?zhǔn)住薄＝y(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，學(xué)生一半以上的錯誤都出在這一環(huán)節(jié)，尤其是已知周長求面積時，問題更加嚴(yán)重。因為，知道圓的周長求半徑，對多數(shù)六年級學(xué)生來說，是一個并不簡單的問題，他們不能完全理解“因為C=2πr，所以r=C÷π÷2或r= =c÷(2π)”這一轉(zhuǎn)化的道理。當(dāng)面對繁雜的條件時，只能憑感覺盲目套公式，因此出現(xiàn)錯誤也就不足為奇。每次面對學(xué)生的此類錯誤，除了本能的責(zé)罵甚至動用武力外，我都在痛苦地思考，能不能找到更好的方法呢？

在一節(jié)“圓的面積”復(fù)習(xí)課上，當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生歸納整理半徑、直徑、周長、面積之間相互關(guān)系時，我突發(fā)奇想，能否用代數(shù)方法將r= 和r= 直接代入公式S =πr² 進行計算呢？我當(dāng)即進行試驗：當(dāng)半徑r= 時，面積S =πr²=π = π ；同理，當(dāng)半徑r= 時，面積S=πr²=π( )2 = = ÷（4π）。

經(jīng)過反復(fù)推敲，運用中學(xué)數(shù)學(xué)中分式平方的方法，雖然超出了小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍，與小學(xué)階段圓面積計算方法的推導(dǎo)原理也有出入，但它符合代數(shù)思想，是對現(xiàn)有圓面積計算方法的“合理拓展”和“重要突破”，理論上完全成立。之后，我對這一方法進行了專門講解和具體試驗，效果不錯。

一、圓的面積S = πd2

例1：一座圓形花園的直徑為5米，它的占地面積是多少平方米？

傳統(tǒng)解法：

（1）求半徑：r= =5÷2=2.5(米)；⑵算面積：S =πr²=3.14× =3.14×6.25=19.625(平方米)。

新的方法：

S = πd2= ×3.14× = ×3.14×25=19.625(平方米)，直接將d=5米代入公式計算思路簡潔正確率也大幅提高。

二、圓的面積S = = ÷（4π）

例2：一個圓柱形糧倉的底面周長是9.42米，它的底面積是多少？

傳統(tǒng)方法：

（1）求半徑：r=C÷π÷2=9.42÷3.14÷2=1.5（米

（2）算面積：S =πr²=3.14× =3.14×2.25=7.065（平方 米）。

新的方法：

S = ÷（4π）= ÷（4×3.14）=88.7364÷12.56=7.065（平方米）。

對比分析，這兩種方法之間的差別不在于計算的難易程度，關(guān)鍵是新方法簡化了思路，面對實際問題時，學(xué)生可以直接使用已知條件（半徑、直徑或周長）進行計算，大大降低了計算過程中由于不同數(shù)量之間的轉(zhuǎn)化而導(dǎo)致的錯誤，有很大的優(yōu)越性。于是我將S =πr²、S = πd2和S = = ÷（4π）在班內(nèi)統(tǒng)一推廣，讓學(xué)生根據(jù)實際情況靈活選擇算法。

為了新課改積極健康的推進，我覺得努力吸收并推廣這些來自教學(xué)實踐，符合代數(shù)思想的“新方法”，不但能豐富解決問題的策略，提高解決問題的效率，更好的體現(xiàn)運用數(shù)學(xué)知識解決生活問題的課改理念，而且對促進教研活動的深入開展和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識有很大作用。