在例題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

摘 要：數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的主題。本文從一題多解、一題多變、深化拓展以及解題后的反思等四個(gè)方面論述了在例題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力的做法和體會(huì)。

關(guān)鍵詞：培養(yǎng)；思維能力；廣闊性；靈活性；創(chuàng)造性；深刻性； 批判性

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2012）16-195-02

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，重要任務(wù)是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。筆者就例題教學(xué)這一側(cè)面，對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，進(jìn)行了嘗試和實(shí)踐。以下略談幾點(diǎn)做法和體會(huì)。

一、一題多解，培養(yǎng)思維的廣闊性

思維的廣闊性表現(xiàn)為善于運(yùn)用多方面知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，從多角度、多層次、全方位考慮問(wèn)題的思維品質(zhì)。一題多解不僅可以訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。所以，在例題教學(xué)中，我盡可能地挑選一些具有多種解法的題目，啟發(fā)學(xué)生對(duì)同一數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行多方面的聯(lián)想，獲取各種不同解法，使思維更開(kāi)闊。比如，在高三的專(zhuān)題（不等式部份）復(fù)習(xí)中，我選取了下面一道例題作為一個(gè)鞏固知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生思維的題目：

例1：設(shè) 、b ，且 ，求 的取值范圍。

思路一 構(gòu)造關(guān)于 的不等式

解法1 因?yàn)?、b ，∴

又因?yàn)?，∴

∴ （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立）

因此 的取值范圍是[9，+∞）。

解法2：因?yàn)?、b ，∴

又因?yàn)?，∴

即 （或 舍去）

∴ （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立）

即 的取值范圍是[9，+∞）。

思路二 轉(zhuǎn)化成函數(shù)求值域

解法3 因?yàn)?/p>

∴ ，顯然 （否則0＝4，矛盾）

∴

又因?yàn)?、b ，∴ ，從而

當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí) 取最小值9，故 的取值范圍是[9，+∞）。

通過(guò)以上幾種不同的解法，不但幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固了基礎(chǔ)知識(shí)，而且使思維面更廣闊了，起到了舉一反三的作用。

二、一題多變，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性是指思維的變通性，它不受思維定勢(shì)的束縛。如果在例題教學(xué)中，教師只講一種題型，歸納一種解題方法，當(dāng)考試時(shí)出現(xiàn)講過(guò)、練過(guò)的題型，學(xué)生做起來(lái)可能會(huì)得心應(yīng)手，一旦稍有變化則不知所措。倘若教師能善于對(duì)例題的形式進(jìn)行變換，克服教學(xué)中的定勢(shì)，不但可以收到舉一反三、觸類(lèi)旁通的效果，還能提高學(xué)生的應(yīng)變能力。

三、深化拓展，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)，在于獨(dú)立地、超出常規(guī)地分析問(wèn)題，不循規(guī)蹈矩，用全新的、不同于他人的思維方式進(jìn)行思維。如果例題教學(xué)中僅局限于解決此題，形成教學(xué)封閉，就難以發(fā)展學(xué)生的思維，久之學(xué)生只能循規(guī)蹈矩，毫無(wú)創(chuàng)新意識(shí)，只能停留在“學(xué)會(huì)”的水平而達(dá)不到“會(huì)學(xué)”的境界。為此，在例題教學(xué)中，我常常在問(wèn)題的深度、廣度上給予拓展，經(jīng)常選編一些源于課本而高于課本且富于思考性的題目，促使學(xué)生創(chuàng)造性地思維。比如：

例2：已知直線 與 相交，證明方程 表示過(guò) 與 與交點(diǎn)的直線。

此題是高中《數(shù)學(xué)必修2》課本P109習(xí)題3.3A組第4題，學(xué)生都能夠順利完成。如果在這道題之后，緊接著讓學(xué)生思考以下的變化題：

（1）如果兩條曲線的方程是 與 ，它們的交點(diǎn)是 ，證明：方程 表示的曲線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（ 是任意實(shí)數(shù)）。

（2）求兩圓 的公共弦所在直線方程及弦長(zhǎng)（不允許求交點(diǎn)）。

由于不允許求交點(diǎn)，這樣就會(huì)促使學(xué)生創(chuàng)造性地思維，從而將學(xué)生的思維推向了一個(gè)新的高度，深化了學(xué)生的認(rèn)識(shí)。

四、通過(guò)解題后的反思，培養(yǎng)思維的深刻性和批判性

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治?波利亞曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題后的回顧。”

進(jìn)行解題后的反思和小結(jié)，會(huì)幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成技能和技巧；反之，會(huì)掛一漏萬(wàn)，甚至解一題丟一題，無(wú)助于數(shù)學(xué)能力的提高。因此，例題教學(xué)中應(yīng)重視解題后的反思。

1、反思漏洞

在問(wèn)題解決之后引導(dǎo)學(xué)生思考是否有漏洞和錯(cuò)誤的地方，總結(jié)應(yīng)該注意的方面，是否掉入命題者所設(shè)計(jì)的陷阱。以此提高分析能力，糾正解答中的錯(cuò)誤，培養(yǎng)思維的深刻性。

例5：求函數(shù) 的最小值。

錯(cuò)解1：由于 ，∴ ，利用平均值不等式得：

錯(cuò)解2：（判別式法）

針對(duì)以上兩種解法，啟發(fā)學(xué)生反思：y可以等于 嗎？學(xué)生思考后會(huì)發(fā)現(xiàn) 時(shí)， ，這是不可能的。從而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)教訓(xùn)：在利用平均值不等式或判別式法求函數(shù)量值時(shí)，一定要注意等號(hào)成立的條件。

通過(guò)反思，不僅找出了錯(cuò)誤的根源，還給學(xué)生留下了深刻的印象，以后記憶猶新了。

2、反思知識(shí)

解題后回顧該題所涉及到的有關(guān)概念、數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法及其內(nèi)在聯(lián)系，既可以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，又能提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

例6：函數(shù) 的自變量 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，求k的取值范圍。

分析：由題意知， 為任何實(shí)數(shù)時(shí)函數(shù)都有意義，須有 恒成立，聯(lián)想拋物線 均在 軸上方（即與 軸無(wú)交點(diǎn)），故 ，得 。

小結(jié)：回顧解題過(guò)程可知，本題是通過(guò)多次轉(zhuǎn)化，最終得出 ，從而求得k的取值范圍。本題的每一次轉(zhuǎn)化都體現(xiàn)了一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)這三者之間的內(nèi)在聯(lián)系。弄清它們的這種內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)以后的解題會(huì)大有幫助。

3、反思方法

解題后小結(jié)一下解題方法，歸納一下這種解題方法的特點(diǎn)，可以加深學(xué)生對(duì)解題方法的理解，有助于學(xué)生較快的掌握。特別地，在一題多解教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生比較鑒賞不同的解法，品味不同的思路，洞察優(yōu)劣，批判吸收。在一題多變教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生比較題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，提煉歸納解題規(guī)律，提高學(xué)生的思維能力。

綜上所述，如果我們?cè)诮虒W(xué)中能夠多思、多變，有意識(shí)、有計(jì)劃的改善和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，就能較好地提高學(xué)生的思維能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 萬(wàn)平方. 在不等式教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的探求能力.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，陜西師范大學(xué)中學(xué)教學(xué)參考雜志社，2001年 (7)：P43.

[2] 王華騰. 重視習(xí)題與跳出習(xí)題.中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，《中學(xué)教研》 雜志社，1998年 （7-8），P10.

[3] 彭建平. 思維品質(zhì)素養(yǎng)與“開(kāi)放型題”.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，華南師大數(shù)學(xué)系《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》編輯站，1999年 （2）：P16.