法向量在立體幾何中的應用

摘 要：傳統幾何法在解立體幾何有時比較簡單。如要證線面平行只需找到線線平行就可以解決問題，但在求二面角大小、線面所成角、空間直線所成角時難度就較大，要求邏輯思維較強，不容易解題。

關鍵詞：法向量；應用

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）16-194-01

一、法向量的概念

如果直線 與平面 垂直，在直線 取向量 ，就說 垂直于平面 ，

記作 ，于是把向量 叫做平面 的法向量。

二、法向量的應用

1、求異面直線的夾角

設 為異面直線 的夾角，在直線 分別取向量 ，則

2、求點到平面的距離 圖1

如圖1，點P在平面外， PO垂直平面于O點，PA是平面的的斜線，斜足為A點。

平面的法向量為 （與 共線），線面角為 ，直線AP、OP的 夾角為 ，P點到平面的距離為d，

則 注意：異面直線、線面、面面間的距離都可轉化為此公式來解決。

3、求線面角

如圖1所示，

4、求二面角的平面角

如圖2設二面角 的平面角為 ， 圖2

向量 分別為平面 的法向量，

則：

其中， 為銳角時取“+”號； 為鈍角時取“-”號。

三、應用舉例

例1如圖，四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2 ，SA＝SB＝ 。

（1）證明：SA⊥BC；

（2）求直線SD與平面SAB所成角的大小。

解：（1）作 于E點，則

又∵BC=2

∴ ，

即E點是BC的中點。 又∵ 圖3

，即SE是BC的中垂線。又∵側面SBC⊥底面ABCD ∴ 。

（2） 以E為原點，分別以向量 的正方向為x軸、y軸、z軸的非負半軸，建立空間直角坐標系，如圖3所示。 容易求得SE=1，于是 A（ ，0，0），B（0 ， ，0），C（0，- ，0），D（ ，-2 ，0），S（0，0，1），E（0，0，0）。

設平面SAB的法向量 ，

∵ ，

∴ 令 ，

得 。

又∵

設直線SD與平面SAB所成的角為 ，則

∴ 。

四、小結

用向量法求求空間角與距離的關鍵就是確定向量的坐標，那就必須選取適當的空間直角坐標系，為了使所得點的坐標方便于計算和證明，一定要分析空間幾何體的結構特征，選其上面合適的點作原點，合適的直線和方向作坐標軸，其次要靈活運用平面幾何的知識、直線與平面的知識來找出點的坐標。