抓住核心 巧用三角

摘 要：本文從幾何直觀入手，探討了如何依據直觀圖形明確“核心元素”來解決一類平面幾何問題的方法．

關鍵詞：平面幾何；核心元素；三角

平面幾何在數學發展史上有著十分重要的地位，它將形象的幾何直觀與嚴密的邏輯推理有機地結合起來，是訓練思維、開發智力的絕佳素材，所以在數學智力競賽中，在數學奧林匹克中，平面幾何都是不可或缺的內容，但這也同時確立了平面幾何題的“難題”形象，“數學難學，平面幾何更難學”，這是許多人的切身感受． 于是有許多文章和專著都專門論述了平面幾何題的解題方法和技巧．本文擬從平面幾何的“幾何直觀”入手，也談一類平面幾何題的解法．

對于一道平面幾何題，根據題意，我們可以作出相應的平面圖形，而一個平面圖形是由一些相對獨立的幾何元素構成的，仔細分析這些幾何元素，我們會發現，這些幾何元素在這個平面圖形中的“地位”并不一定是平等的，也就是說其中一些幾何元素的存在是依賴于另一些幾何元素的． 比如說，一個平面圖形是由△ABC及其外接圓⊙O組成的，那我們就認為⊙O是依賴于△ABC而存在的，因為△ABC一旦確定，⊙O就跟著唯一確定下來了．

我們來看一個具體的題目：

在銳角△ABC中，∠A的平分線交BC于L，交△ABC的外接圓于N，LK⊥AB于K，LM⊥AC于M，求證：SAKNM=S△ABC．（28—IMO—2）

分析這個題目的平面圖形，所含的幾何元素有△ABC，△ABC的外接圓，角平分線AN，垂線LK、LM等，很明顯，△ABC在這些幾何元素中具有決定性的作用，△ABC確定之后，其他所有的幾何元素都跟著一一確定下來，在這個平面圖形中，△ABC就起著決定性的作用，我們姑且稱之為“核心元素”．

接下來的問題是，我們怎樣利用一個平面圖形的“核心元素”呢？從上面的分析我們知道，一個平面圖形的“核心元素”決定了其他所有幾何元素的存在，那么從理論上講，我們就可以用“核心元素”的幾何特征量（長度、角度、面積等）去表示其他幾何元素的幾何特征量． 這就給我們解決平面幾何問題提供了另外一種新的思路．

在此題中，由題意知，A，K，L，M四點共圓，且AL為圓的直徑，由對稱性可知，KM⊥AL，所以SAKNM=AN×KM，接下來的思路很明晰了，就是努力用△ABC的邊或角去表示AN，KM的長度，這可以充分運用我們的三角函數的知識．

=2R=AL，即KM=AL×sinA，又==，

所以KM=AL×sinA=．

在△ANB中，=，即=，

所以AN=sinB+，SAKNM=AN×KM=sinB+?=AB×AC×sinA=S△ABC．

下面我們運用這一思路再看一些例子：

例1 在圓內引弦AB和AC，∠BAC平分線交圓于點D，過D作DE⊥AB于E，證明：AE=（AB+AC）． （第十六屆全俄數學奧林匹克九年級題8）

分析：此圖的“核心元素”可定為△ABC，因為圓、角平分線AD、垂線DE都隨△ABC的確定而唯一確定．

證：AD=2RsinC+，所以AE=2RsinC+cos=2R（sinB+sinC）=（b+c）=（AB+AC）．

例2 在一條直線l的一側畫一個半圓，C、D是半圓上的兩點，半圓過C、D的切線相交于點P，且分別交l于A、B，半圓的圓心在線段AB上，E是線段AC和BD的交點，求證：PE⊥AB．

圖3

分析：首先認清圖形的“核心元素”為半圓和OC，OD兩半徑，為了利用“核心元素”證明PE⊥AB，我們可過P作PM⊥AB交DB于E′，交AC于E″，將證垂直轉化為證線段相等PE′=PE″，只需將PE′，PE″用“核心元素”的幾何特征量來表示即可．

圖4

證：過P作PM⊥AB交DB于E′，交AC于E″，作DN⊥AB，

設圓的半徑r=1，∠COB=α，∠DOA=β，則BC=tanα，PC=tan=cot，BM=cos－αtanα+cot=sinαtanα+cot，=?圯=?圯ME′=，同理?圯ME″=．

只需證ME′=ME″?圳cosαtanα+cosαcot=cosβtanβ+cosβcot

?圳cot=－?圳=cot，

此式成立．

例3 三角形ABC的內切圓切AC于K點，求證：連結AC的中點與內切圓圓心的直線平分BK． （第二屆全蘇數學奧林匹克十年級題7）

圖5

證：此圖形的“核心元素”是△ABC，過B作BM∥OD，BH⊥AC，則只需證MD=DK．

設內切圓半徑為1，△ABC三邊長分別為a，b，c，則b=cot+cot．

由△BMH相似于△ODK有=，即asinC=．

要證MD=DK?圳MH+HC－DC=DK，

只需證asinC－cot+acosC－=－cot?圳asinC?－asinCcot+acosC=b－cot?圳asinC?－asinC?+acosC=cot?圳asinC?－a=cot?圳S△ABC－a=AK?圳－a=AK?圳b+c－a=2AK，

此式成立．

例4 圓O1與圓O2和△ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點，并且EG、FH的延長線交于P點，求證：PA⊥BC． （1996全國高中數學奧林匹克聯賽第二試題1）

圖6

證：此圖形的“核心元素”顯然為△ABC，所以這個圖形的其他任何部分都可以由△ABC的量表示出來．

過A作AM⊥BC交PF于P′，交PE于P″，則只需證MP′=MP″．

由題目條件，MP′=MP″等價于

－bcosCcot=－ccosBcot?圳－sinBcosCtan=－sinCcosBtan?圳2coscoscos?tan－sinBcosCtan=2coscoscos?tan－sinCcosBtan?圳2cossin?cos－cosC+cosBcosC=2coscos?sin－cosB+cosBcosC?圳2cossin?cos－cossin=cosC－cosB?圳2sinsin=cosC－cosB，

此式成立．

從以上例子可以看出，我們可以從平面幾何題的平面圖形入手，分析出圖形的“核心元素”，再將證明目標轉化為幾何元素的幾何特征量的關系，再設法把這些量用“核心元素”的量來表達，從而將平面幾何的證明轉化為三角等式的證明，抓住核心、巧用三角，將平面幾何的難度分解轉化，從而達到降低解題難度的目的，希望此種解題思路對讀者有所幫助．