圓錐曲線中關(guān)于定點(diǎn)問(wèn)題的再探究

摘 要：圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)，而求證或求解圓錐曲線中有關(guān)定值、定點(diǎn)問(wèn)題又是這塊內(nèi)容的重難點(diǎn)，對(duì)于一些典型的例題教師在教學(xué)之余要學(xué)會(huì)思考，進(jìn)而找到一些規(guī)律，傳授給學(xué)生，不光增強(qiáng)了學(xué)生的解題能力，幫助學(xué)生掌握了這類題的通法，更開(kāi)闊了學(xué)生的視野． 筆者結(jié)合例題進(jìn)行了有關(guān)定點(diǎn)問(wèn)題的再探究．

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定點(diǎn)；性質(zhì)

引例1：過(guò)拋物線y2=4x上點(diǎn)A（0，0）作拋物線的兩條弦AD、AE，且AD、AE的斜率分別為k1、k2，滿足k1k2=2，求證：DE過(guò)定點(diǎn)．

引例2：已知點(diǎn)M（0，1）是離心率為的橢圓C：+=1（a>b>0）上一點(diǎn)，過(guò)M作直線MA、MB交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1、k2，若k1+k2=3，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)．

以上兩個(gè)是圓錐曲線中的精典例題，在教學(xué)之余，筆者通過(guò)一些定位思考、變式探究，根據(jù)以上例題得到圓錐曲線如下兩個(gè)有趣的猜想．

猜想1：若圓錐曲線的一頂點(diǎn)與兩動(dòng)點(diǎn)的連線的斜率之積為定值，兩動(dòng)點(diǎn)的連線必過(guò)定點(diǎn)．

猜想2：若圓錐曲線的一頂點(diǎn)與兩動(dòng)點(diǎn)的連線的斜率之和為定值，兩動(dòng)點(diǎn)的連線必過(guò)定點(diǎn)．

【命題1】 已知橢圓C：+=1（a>b>0），過(guò)定點(diǎn)M（0，b）作直線MA，MB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1k2=m時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)0，．

證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，且A（x1，y1），B（x2，y2），

由y=kx+t，b2x2+a2y2=a2b2得（a2k2+b2）x2+2a2ktx+a2（t2－b2）=0，

則有x1+x2=，x1x2=．

由k1k2=m，得k1k2=?=m，即（y1－b）（y2－b）－mx1x2=0，

故y1y2－b（y1+y2）+b2－mx1x2=0． 將y1=kx1+t，y2=kx2+t代入，

整理得（k2－m）x1x2+（kt－kb）（x1+x2）+（t－b）2=0，（k2－m）+（kt－kb）?+（t－b）2=0，化簡(jiǎn)得（t－b）［（b2－ma2）t－（ma2b+b3）］=0，顯然t≠b，故t=，所以直線AB的方程為y=kx+，

故直線AB過(guò)定點(diǎn)0，．

【命題2】 已知橢圓C：+=1（a>b>0），過(guò)點(diǎn)M（a，0）作直線MA，MB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1k2=m時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)，0． （證明與命題1類似，省略）

【命題3】 已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0），過(guò)點(diǎn)M（a，0）作直線MA，MB交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1k2=m時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)，0．

證明：設(shè)直線AB的方程為x=λy+t，且A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=λy+t，b2x2-a2y2=a2b2得（b2λ2－a2）y2+2b2kty+b2（t2－a2）=0，

則有y1+y2=，y1y2=．

由k1k2=m，得k1k2=?=m，即y1y2－m（x1－a）（x2－a）=0，

故y1y2－mx1x2+ma（x1+x2）－ma2=0． 將x1=λy1+t，x2=λy2+t代入，整理得（1－mλ2）?y1y2－mλ（t－a）（y1+y2）－m（t－a）2=0，（1－mλ2）－mλ（t－a）?－m（t－a）2=0，化簡(jiǎn)得（t－a）［（b2+ma2）t+（ab2－ma3）］=0，顯然t≠a，故t=，所以直線AB的方程為x=λy+，故直線AB過(guò)定點(diǎn)，0．

【命題4】 已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0），過(guò)點(diǎn)M（0，a）作直線MA，MB交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1k2=m時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)0，． （證明與命題3類似，省略）

【命題5】 已知拋物線C：y2=2px，過(guò)點(diǎn)M（0，0）作直線MA，MB交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1k2=m（m≠0）時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)－，0．

證明：設(shè)直線AB的方程為x=λy+t，且A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=λy+t，y2=2px 得y2－2pλy－2pt=0，則有y1+y2=2pλ，y1y2=－2pt．

由k1k2=m，得k1k2=?=m，即y1y2－mx1x2=0．

將x1=λy1+t，x2=λy2+t代入，整理得（1－mλ2）y1y2－mλt（y1+y2）－mt2=0，

故（1－mλ2）（－2pt）－2pmλ2t－mt2=0，化簡(jiǎn)得t（mt+2p）=0，顯然t≠0，故t=－，

所以直線AB的方程為x=λy－，故直線AB過(guò)定點(diǎn)－，0．

【命題6】 已知拋物線C：x2=2py，過(guò)點(diǎn)M（0，0）作直線MA，MB交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1k2=m時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，－2pm）．

（證明與命題5類似，省略）

由命題1～6可知猜想1正確，圓錐曲線有如下共同的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過(guò)圓錐曲線C的一頂點(diǎn)M作直線MA，MB交C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1k2=m時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)．

【命題7】 已知橢圓C：+=1（a>b>0），過(guò)點(diǎn)M（a，0）作直線MA，MB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1+k2=m（m≠0）時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)a，－．

證明：設(shè)直線AB的方程為x=λy+t，且A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=λy+t，b2x2+a2y2=a2b2得（b2λ2+a2）y2+2b2kty+b2（t2－a2）=0，

則有y1+y2=，y1y2=．

由k1+k2=m，得k1+k2=+=m，即y1（x2－a）+y2（x1－a）－m（x1－a）（x2－a）=0，故y1x2+y2x1－a（y1+y2）－mx1x2+ma（x1+x2）－ma2=0．

將x1=λy1+t，x2=λy2+t代入，

整理得（2λ－mλ2）y1y2+（t－a）（1－mλ）?（y1+y2）－m（t－a）2=0，（2λ－mλ2）+（t－a）（1－mλ）?－m（t－a）2=0，

化簡(jiǎn)得a（t－a）（2λb2－mat+ma2）=0，顯然t≠a，故t==+a，所以直線AB的方程為x=λy++a，即x=λy++a，

故直線AB過(guò)定點(diǎn)a，－．

【命題8】 已知橢圓C：+=1（a>b>0），過(guò)點(diǎn)M（0，b）作直線MA，MB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1+k2=m（m≠0）時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)－，-b.

（證明與命題7類似，省略）

【命題9】 已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0），過(guò)點(diǎn)M（a，0）作直線MA，MB交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1+k2=m（m≠0）時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)a，．

證明：設(shè)直線AB的方程為x=λy+t，且A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=λy+t，b2x2-a2y2=a2b2得（b2λ2－a2）y2+2b2kty+b2（t2－a2）=0，

則有y1+y2=，y1y2=，

由k1+k2=m，得k1+k2=+=m，即y1（x2－a）+y2（x1－a）－m（x1－a）（x2－a）=0，故y1x2+y2x1－a（y1+y2）－mx1x2+ma（x1+x2）－ma2=0． 將x1=λy1+t，x2=λy2+t代入，

整理得（2λ－mλ2）y1y2+（t－a）（1－mλ）?（y1+y2）－m（t－a）2=0，（2λ－mλ2）+（t－a）（1－mλ）?－m（t－a）2=0，化簡(jiǎn)得a（t－a）（2λb2+mat－ma2）=0，顯然t≠a，故t==+a，所以直線AB的方程為x=λy－+a，即x=λy-+a，故直線AB過(guò)定點(diǎn)a，．

【命題10】 已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0），過(guò)點(diǎn)M（0，a）作直線MA，MB交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1+k2=m時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)－，-a．

（證明與命題9類似，省略）

【命題11】 已知拋物線C：y2=2px，過(guò)點(diǎn)M（0，0）作直線MA，MB交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1+k2=m（m≠0）時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)0，．

證明：設(shè)直線AB的方程為x=λy+t，且A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=λy+t，y2=2px 得y2－2pλy－2pt=0，則有y1+y2=2pλ，y1y2=－2pt，由k1+k2=m，得k1+k2=+=m，即y1x2+y2x1－mx1x2=0．

將x1=λy1+t，x2=λy2+t代入，整理得（mλ2－2λ）y1y2+（mλt－t）（y1+y2）+mt2=0，

故（mλ2－2λ）（－2pt）－（mλt－t）2pλ+mt2=0，化簡(jiǎn)得t（mt+2pλ）=0，顯然t≠0，故t=－，所以直線AB的方程為x=λy-，故直線AB過(guò)定點(diǎn)0，．

由命題7～11可知可知猜想2正確，圓錐曲線有如下共同的性質(zhì)：

性質(zhì)2 過(guò)圓錐曲線C（除x2=2py外）的頂點(diǎn)M作直線MA，MB交C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1+k2=m（m≠0）時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)．

備注：已知拋物線C：x2=2py，過(guò)點(diǎn)M（0，0）作直線MA，MB交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2． 若k1+k2=m（m≠0）時(shí)，則直線AB的斜率為定值m．

（證明與命題11類似，省略）