在教學中解題方法選擇的多元思考

摘 要：《一對有趣的和積互換公式》與《方法服從題目——讀刊有感》共同針對一組不等式問題進行研究，換一個視角探究這組解法的題源，就揭秘了這類不等式蘊涵的數學規律，發現解決這類問題的通法． 對解法選擇的多元思考，發現方法的選擇適時適宜，就能引起學生情感的共鳴，產生強烈的學習欲望，積極遷移所學方法探究問題并將其內化為自己的方法，反之會挫傷學習信心，降低學習效率．

關鍵詞：一組不等式；統一解法；方法選擇

在閱讀《數學通訊》近一段時間來的雜志時，發現《一對有趣的和積互換公式》（下稱文［1］）與《方法服從題目——讀刊有感》（下稱文［2］）共同針對一組不等式問題進行研究，其中文［1］從和積互換的角度審視問題，對四個問題運用了不同方式的進行解決，具有一定的技巧性；文［2］則用基本不等式的角度審視問題，將其中的三個問題經變形后用基本不等式統一解決，而另一個問題則導數的方法解決． 然后，當我們深入研究這組不等式問題的形式結構時便會發現蘊涵其中的共同數學規律，找到通向問題解決的另一快捷渠道．

先看下面這組不等式問題，再從問題的解法探源入手探究解決它們的通法．

一組不等式問題

例1 設正數a，b滿足a+b=1，求證：+≥8（文［1］例1，文［2］例4）．

例2 設正數a，b滿足a+2b=1，求證：+≥9（文［1］例2，文［2］例5）．

例3 設正數a，b滿足0

例4 設正數a，b滿足a+2b=1，求證：+≥（文［1］例3，文［2］例7）．

問題的解法探源

觀察這組不等式問題的條件與結論，我們馬上會發現它們有共同的結構特征：條件為與兩個正數的有關和或積為一定值，問題為證明關于這個正數的倒數和有關的不等式或求最小值． 聯想到更為一般形式的一個重要不等式，即在普通高中課程標準實驗教科書《數學?選修4-5》（人民教育出版社A版）的不等式選講部分的第23頁第2題：已知ad≠bc，求證：（a2+b2）（c2+d2）>（ad+bc）2． 證明如下：

（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2d2+a2c2+b2d2+b2c2 ≥a2d2+2+b2c2=（ad+bc）2，等號成立，需a2d2=b2c2．

但已知ad≠bc，故等號不成立，所以（a2+b2）（c2+d2）>（ad+bc）2．

由上面的證明可以看出，當ad=bc，不等式可以取得等號．其變式更具應用性．

變式：已知a，b，c，d都為正數，則（a+b）（c+d）≥（+）2，當且僅當ad=bc，即=時等號成立．

使用這個不等式使許多結構與它一致或相近的不等式問題會得到非常簡便的解決． 這是以后將要學習的柯西不等式的特殊情形，也是構造這類不等式問題的題源．

問題的統一解法

下面應用前面得到的題源不等式來統一解決開頭給出的一組不等式問題．

例2的證明：由于a，b為正數，所以（a+2b）+≥?+=9，

由已知a+b=1，因而+≥9，故所證不等式成立．

等號成立需?=?，即a=b=．

例1的證明： +=（1+1）?+≥+2=?+（a+b）2≥［（1+1）2］2=8，當且僅當a=b且=時等號成立，即a=b． 故所證不等式成立．

例3的解：因為（（1-a）+（1-b））?+≥4，等號成立當且僅當=，即a=b．

因為正數a，b滿足0

例4的證明：因為+=?+=－1+?+ =－1+×?+－a+3－2b≥－1+?+12=，

等號成立當且僅當=，結合a+2b=1，解得a=5－，b=－2．

用題源不等式可構造出許多高考試題，如下面兩例：

1． （2011?重慶理）已知a>0，b>0，a+b=2，則y=+的最小值是（ ）

A． B． 4 C． D． 5

2． （2010?安徽文）若a>0，b>0，a+b=2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是________． （寫出所有正確命題的編號）

①ab≤1；②+≤；③a2+b2≤2；④a3+b3≥3；⑤+≥2

其中1的答案為C，2的答案為①③⑤，解答留給讀者．

對解法選擇的多元思考

文［2］提出問題解決的方法服從題目，這一觀點對于重視基礎，關注通性通法有很好的作用． 如前面用二元柯西不等式這一通法解決了結構與之相同或可化為相同的一組不等式問題． 其實在教學中，由于問題解決的方法一般不唯一，往往呈現出可從多角度出發去分析轉化問題，可遷移不同的知識方法去解決問題，因而解題方法的選擇還要從多元視角考慮． 一方面要從學生認知水平出發，在學生認知的鄰近區域建構解法，讓學生能夠接受并能用自己所學的知識構建自己的解法網絡，也就是在不同的教學時段，要結合學生的認知水平選擇適宜的方法；另一方面要從教學目的出發，由于課型的不同所選擇的解法也不同，概念、原理課則解法服從于落實基礎，深化對概念與原理的理解，注重概念的形成和原理的掌握，著重于通性通法；探究課則解法服從于分析問題與解決問題能力的形成，立足于形成創新意識；對復習課則解法要服從于基礎的落實、方法的總結、思維的拓展，形成知識與方法體系． 下面以一道高考題的解法選擇為例說明．

例5 （2010?重慶理）已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是（ ）

A． 3 B． 4 C． D．

解法1：考察均值不等式x+2y=8－2xy≥8－22，當且僅當x=2y時成立，

整理得（x+2y）2+4（x+2y）－32≥0，即（x+2y-4）（x+2y+8）≥0．

又x+2y>0，所以x+2y≥4，當且僅當 x=2，y=1時成立．

解法2：由已知x+2y+2xy=8，得y=>0，所以－1

解法3：由已知x+2y+2xy=8得（x+1）?（2y+1）=9，因此x+2y=（x+1）+（2y+1）－2≥2－2=4，等號成立需x+1=2y+1=3，此時x=2，y=1．

解法4：設x+2y=z，則y=－x+z（x>0，y>0），問題即為研究直線：y=－x+z （x>0，y>0）與雙曲線x+2y+2xy=8在第一象限相交時截距的最小值． 觀察圖形知當兩者相切時，截距最小． 聯立方程可得x2－zx+8－z=0，故有z2－4（8-z）=0，解得z=4． 此時x=2，y=1．

解法5：設x+2y=z，則z>0，聯立方程可得x2－zx+8－z=0，故此方程必有正解，由于z>0，只需z2－4（8-z）≥0，解得z≥4． 當x=2，y=1時有z=4．

解法1利用基本不等式構建不等式，適合在單元復習中使用；解法2則轉化函數，解決的思路是寬闊的，在函數復習、不等式應用時均適合；解法3則為基本不等式的變形應用，作為思路的拓展在新課中可用；解法4轉化為規劃問題，作為線性規劃問題的延伸可在本節復習中使用；解法5則通過換元化為零點問題，可在零點一節的復習課中使用． 當然這些方法可在復習課綜合使用，來開拓學生思維，構建新的認知結構，突破思維方式，使知識、方法融會貫通． 方法的選擇若適時適宜，就能點燃學生強烈的求知欲望，引起學生情感的共鳴，產生濃厚的學習興趣，自主的遷移所學方法探究問題，并能將所學的方法內化自己的解題方法，融入自己的知識方法體系，不適宜的方法使用，會挫傷學生學習的信心，降低學習的效率．