一道三角求值題的解題記錄

摘 要：本文通過對一道三角求值題的解題記錄，反思了如下問題：對題目條件的反思，對失敗思路的反思，對失敗思路的再反思，對特殊情形的反思，對一般情形的反思，對問題進行推廣．

關鍵詞：三角；求值；反思；推廣

作業中，一道三角函數求值題，多數學生未能尋求到正確的解題思路，筆者對這道題進行了一番研究，將解題記錄呈現如下．

問題 如圖1，在直角坐標系xOy中，銳角△ABC內接于圓x2+y2=1， BC平行于x軸，AB的斜率為2，記∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值．

圖1

分析 解答記錄 由條件知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），于是=2，由這個條件無法求出α，β的三角函數值，代入sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ也不能消去α，β，解題失敗．

按套路解題遇到困難！一些重點知識內容與題型，有一定的規律可尋，有一定的方法可套，但很多問題會出現我們從未遇過的情形，需要重新考慮解答，尋找解題的其他切入點．

重新審題，圓x2+y2=1的內接△ABC，只有∠ABC已知，BC平行于x軸，A，B的位置不定，α，β的三角函數值為變量，無法求出α，β的三角函數值．

從結論猜測，α，β變化，但α+β應不變，與定角∠ABC有何關系？

圓的條件有何用途? 解題者解題時，要對頭腦中處于休眠狀態的知識進行挑選并收集相關內容，進行聯想、化歸、建構．

圖2

設AB交x軸于D，點A，B在圓O上，則OA=OB，∠OAB=∠OBA．

BC平行于x軸，∠ADO=∠ABC，∠DOB=∠OBC． 這些具有等量關系的角與α，β有什么聯系？怎樣將α+β向定角∠ABC轉化？

觀察圖形，發現α=∠OAB+∠ADO，β=π+∠DOB． 于是α+β=∠OAB+∠ADO+π+∠DOB=∠OBA+∠ABC+π+∠OBC =2∠ABC+π．

所以，sin（α+β）=sin（π+2∠ABC）= －sin2∠ABC=－=－．

解后反思記錄

解題后不反思，就錯過了解題的一個重要而有教益的方面． 通過回顧所完成的解答，通過重新考慮與重新檢查這個結果和得出這一結果的路子，解題者可以鞏固自身的知識和發展解題能力．

反思1 對題目的條件反思

圓的條件還有何用途?從解析幾何的角度看，AB是斜率確定的圓的弦， 取弦中點是處理圓的弦問題的一種常見方法．

圖3

取AB的中點E，則OE的斜率為－，tan∠xOE=－． 定角∠xOE與α，β有什么關系？

又OE平分∠OAB，∠xOE=∠xOA+∠BOA=α+=．

所以sin（α+β）=2sincos==－．

反思2 對失敗思路反思

重新思考失敗思路，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中的α，β變化，無法求出它們的三角函數值，失敗的原因之一是忽視了一個重要條件，A，B是一條直線與圓的兩交點．

設直線AB的方程為 y=2x+m，A（x1，y1），B（x2，y2）． 聯立方程組y=2x+m，x2+y2=1消去y，得5x2+4mx+m2－1=0，x1+x2=－，x1?x2=． sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=x2y1+x1y2=x2（2x1+m）+x1（2x2+m）=4x1x2+m（x1+x2）=4×－=－．

解題時，尤其要注重題目的分析，每個已知條件能給我們提供什么信息，所求結果需要什么條件，條件與條件、條件與結論有著怎樣的聯系，很多情況下無法建立已知與所求之間的聯系時，需要反復讀題、變化問題，直至利用這些條件變化、重組、構建到能解決問題為止．

反思3 對失敗思路再反思

由于α，β只與A，B的位置有關，覺得條件中的點C多余，忽視點C也是解題失敗的原因之一．

由條件知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），BC平行于x軸，C（－cosβ，sinβ）． AB的斜率為2，tan∠ABC=2，∠ABC為銳角，sin∠ABC=．

在△ABC中，根據正弦定理得=2，

=2，

2+2cos（α+β）=，cos（α+β）=． 0<α<，π<β<，π<α+β<2π，sin（α+β）=－．

反思4 對特殊情形反思

特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一個較小的集合，或僅僅一個對象． 特殊化在解決問題時常對一般情形具有啟發性．

直線AB過原點時，α+β=∠xOA+π+∠xOA=2∠ABC+π． 猜測，是否一般情形下也有α+β=2∠ABC+π？找到這個切入點，會大大降低題目難度，縮短解題時間．

反思5 對一般情形反思

普遍化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合；或者從考慮一個較小的集合過渡到一個包含這個較小集合的更大集合． 把有些特殊的數學問題一般化是挖掘數學內涵的一種重要方法．

問題的推廣：

推廣1 在直角坐標系xOy中，銳角△ABC內接于圓x2+y2=1， BC平行于x軸，AB的斜率為k，記∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值．

推廣2 在直角坐標系xOy中，銳角△ABC內接于圓x2+y2=r2（r>0）， BC平行于x軸，AB的斜率為k，記∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值．

若將問題中的圓改變為橢圓或雙曲線，sin（α+β）不是定值，但可做如下推廣．

推廣3 在直角坐標系xOy中，斜率為k的直線l與曲線Ax2+By2=C（ABC≠0）交于M，N，N關于直線y=x的對稱點P，求?的值．

設直線MN的方程為 y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），P（y2，x2）．

聯立方程組y=kx+m，Ax2+By2=C消去y，

得（A+Bk2）x2+2kmBx+Bm2－C=0． x1+x2=－，x1?x2=． ?=x2y1+x1y2=x2（kx1+m）+x1（kx2+m）=2kx1x2+m（x1+x2）=2k×+m×= －．