融感性認識于三角函數概念的理解之中

摘 要：三角函數是大量周期性現象的模型，由初中到高中，三角函數概念得到進一步的豐富和發展，學生往往囿于它的下位概念——銳角三角函數的概念的束縛，對概念的理解很難一步到位． 從根本上說，學生對概念認識的角度、深度和廣度都要相應改變和提高，才能達到對概念的理解． 注重學生學習的實踐活動，將已有的數學現實作為新知識增長點，把典型、具體的模型充實于概念的學習中，通過突出和發揮感性認識的作用，來體驗概念的產生、發展過程，以逐步過渡到理性認識階段，水到渠成，達到概念的內化．

關鍵詞：周期性現象模型；感性認識；三角函數

到了高中階段，三角函數概念擺脫了初中階段的束縛，產生很大的飛越． 概念提升后，學生認識的角度、深度和廣度都要相應地發生變化，對概念的理解才能從初中階段順利過渡到高中階段．從人類認識運動的辯證過程看，首先是從實踐到認識的過程． 在這個過程中，認識采取了感性認識和理性認識兩種形式，并經歷了由前者到后者的能動飛躍． 理性認識是基于感性認識的基礎之上的． 感性認識和理性認識相互滲透，相互包含． 感性認識和理性認識在實踐的基礎上是辯證統一的． 認識運動是不斷反復和無限發展的． 數學就是人類通過實踐由感性認識上升到理性認識而形成的，并在不斷豐富和發展．

初中階段的三角函數概念，其研究范圍是銳角，側重幾何的角度，在一個直角三角形中，研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內在關系，其研究方法是幾何的，研究目的是為解直角三角形服務． 高中階段，它是在“角的概念的推廣”的基礎上進行討論和研究的，研究從“靜態”到“動態”，體現了運動變化的觀點．通過構造，將給定的角通過直角坐標系研究，提供了用代數方法研究幾何的思路，研究平臺從初中的平面幾何圖形過渡到平面直角坐標系，再次體現了數形結合的思想． 任意角的三角函數作為函數概念的下位概念，要強調它是以角為自變量，比值為函數值的函數，由“銳角三角函數”概念擴張到“任意角三角函數”． 三角學的現代特征，是把三角量看做函數，即看做是一種與角相對應的函數值． 正如歐拉所說，“引進三角函數以后，原來意義上的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算”．

三角函數在高中數學教材中自成體系，成為獨立的一章． 沿定義出發衍生的基本內容有：三角函數線、三角函數值的符號、同角三角函數關系、誘導公式、一些變換公式以及圖象和性質，其內涵豐富，外延廣泛． 在經歷從銳角三角函數過渡到任意角三角函數定義的推廣過程中，學生的理解很難一步到位，往往還是容易陷入于直角三角形中去研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內在關系． 要克服負遷移，打破思維定式，突破它的下位概念——銳角三角函數的概念的束縛，承前啟后，從狹義走向廣域，達到概念的內化．

脫離實際的理論是空洞的，會顯得蒼白無力． 找到感性認識的切入點，通過突出和深化感性認識，提供一些適當的背景，增強學生學習活動的體驗，學生能身臨其境，伴隨著“真情實感”來體驗概念的產生、發展過程，逐步過渡到理性認識階段，水到渠成．

以典型、具體的模型，通過適當的實踐讓學生從已有的知識經驗去認知，明確研究范圍的變化，開闊視野，引導學生進行提煉概括，才能揭示由此帶來的新問題，加深對新概念的理解，這樣的學習才會充滿活力．

這里給出兩個例子來加以說明．

以和我們日常生活息息相關的交流電為例，它的最基本的形式是正弦電流

如圖1所示為發電機的示意圖．當線圈在勻強磁場中以角速度ω逆時針勻速轉動時，線圈將產生感應電動勢． 當線圈平面垂直于磁感線時，各邊都不切割，沒有感應電動勢，稱此平面為中性面，如圖2所示． 設磁感應強度為B，磁場中線圈一邊的長度為l，平面從中性面開始轉動，經過時間t，線圈轉過的角度為ωt，這時，其單側線圈切割磁感線的線速度v與磁感線的夾角也為ωt，所產生的感應電動勢e′=Blvsinωt． 所以整個線圈所產生的感應電動勢為e=2Blvsinωt，2Blv為感應電動勢的最大值，設為Em，則e=Emsinωt． 此式為正弦交流電動勢的瞬時值表達式，也稱解析式． 正弦交流電壓、電流等表達式與此相似．

圖3

圖4

從產生交流電的過程看，對比正弦曲線，此例是一個非常生動和具體的實例．

簡諧振動

簡諧振動有單擺擺動和彈簧振子運動．

理論和實驗都證明，簡諧振動物體的位移隨時間變化的規律呈正弦函數或余弦函數．

以橫軸表示時間t，以縱軸表示位移x，建立坐標系，畫出簡諧運動的位移—時間圖象都是正弦或余弦曲線，振動圖象表示了振動物體的位移隨時間變化的規律． 由圖象可知振動的周期，可以讀出不同時刻的位移；根據圖象可以確定速度大小、方向的變化趨勢；還可以根據位移的變化趨勢判斷加速度的變化，也能判斷質點動能和勢能的變化情況．

學生如果能從所熟悉的問題、感興趣的事物、日常生活中的情景或已熟悉掌握的知識等這些背景出發，不僅把已有的數學現實作為新知識增長點，從現有的知識經驗中培養新的知識經驗，也將所學的數學知識與他的現實生活聯系起來，找到數學知識在實踐應用中的切入點，把數學應用于現實世界，服務于當代和新生科學的理論和實踐，“把現實的數學與學生個體的現實緊密地結合起來”．

任意角的三角函數反映了自然界中或工程技術中的一個非常重要的周期運動現象，是大量周期性現象的模型，也是為研究客觀世界中大量存在的周期性現象服務的．

三角函數作為研究自然界和生產實踐中變化現象的重要數學工具，它在測量、力學、工程及無線電學中有著廣泛的應用． 在高中數學教材中自成體系，成為獨立的一章，可見其內容的豐富，應用的廣泛． 它不僅為復數、平面向量、解析幾何等內容的學習做必要的準備，同時也是其他知識的出發點，是物理學、高等數學、測量學、天文學的重要基礎．

增強學生數學學習的感性認識，往往能把數學延伸到其他領域，實現多門類、多學科的相互交叉與滲透，有利于拓展學生的知識面，提高學生的綜合素質，使學生向全方位復合型人才發展．