探索問(wèn)題 活化思維 提高能力

摘 要：探索性問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題． 教師指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)探索性問(wèn)題的類型及求解策略，有助于學(xué)生熟悉題型特征，掌握解題方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，觀察、試驗(yàn)、類比和歸納能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及探索能力等，實(shí)現(xiàn)綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升． 本文從指導(dǎo)方法，尋找學(xué)習(xí)的鑰匙；鼓勵(lì)質(zhì)疑，讓學(xué)生學(xué)有創(chuàng)見(jiàn)；因題施教，培養(yǎng)問(wèn)題解決能力等方面探討了探索性數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)．

關(guān)鍵詞：探索性問(wèn)題；教學(xué)策略；解題思路

為了培養(yǎng)學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)工具描述和處理自然界和社會(huì)中的某些現(xiàn)象，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，并且提供進(jìn)行探索和研究的渠道和廣闊的空間，新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)和考試評(píng)價(jià)中出現(xiàn)了一些新題型． 它們具有以下一些特征：①給出題設(shè)條件，但題目結(jié)論未指明，或者只給出結(jié)論范圍，要解題者自己作出判斷和選擇；②題目給出結(jié)論，但條件殘缺，或不給出條件，要求給出或補(bǔ)充使題目結(jié)論成立的條件；③給出一些特殊情況，要求歸納、猜測(cè)一般結(jié)論并給出證明；④先給出一個(gè)封閉性的問(wèn)題，改變題設(shè)條件或結(jié)論，討論其結(jié)論或條件將發(fā)生怎樣的變化；⑤條件結(jié)論都知道，解題需要經(jīng)歷觀察、試驗(yàn)、歸納、猜測(cè)的探索過(guò)程等． 它們區(qū)別于封閉性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，更能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，人們稱之為數(shù)學(xué)探索性問(wèn)題． 由于探索性問(wèn)題具有較強(qiáng)的趣味性、較大的靈活性和較深的隱蔽性，加之其問(wèn)題背景新穎、解法靈活多變，故能很好地考查學(xué)生的觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括等思維能力，特別是運(yùn)用知識(shí)方法分析和解決問(wèn)題的創(chuàng)新能力． 從近幾年全國(guó)及各省市高考自主命題中我們不難發(fā)現(xiàn)：探索性問(wèn)題呈逐年上升的趨勢(shì)． 但是由于探索性問(wèn)題的求解缺乏現(xiàn)成的套路和方法，解題的思考方向有很大的不確定性，且內(nèi)容廣泛、形式多樣，給學(xué)生解題帶來(lái)一定困難． 因此，有效指導(dǎo)學(xué)生探究解決探索性問(wèn)題有利于激活學(xué)生思維，提高問(wèn)題解決能力，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新性學(xué)習(xí)．

指導(dǎo)方法，尋找學(xué)習(xí)的鑰匙

“未來(lái)的文盲不再是不識(shí)字的人，而是沒(méi)有學(xué)會(huì)怎樣學(xué)習(xí)的人”，這充分說(shuō)明了學(xué)習(xí)方法的重要性，它是獲取知識(shí)的金鑰匙．學(xué)生一旦掌握了學(xué)習(xí)方法，就能自己打開(kāi)知識(shí)寶庫(kù)的大門(mén)． 因此我們要改進(jìn)課堂教學(xué)，不但要幫助學(xué)生“學(xué)會(huì)”，更要指導(dǎo)學(xué)生“會(huì)學(xué)”． 在教學(xué)中，筆者主要在讀、議、思等幾個(gè)方面給予指導(dǎo)．

1． 教會(huì)學(xué)生“讀”． 這主要用來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察力和歸納整理問(wèn)題的能力． 我們知道，數(shù)學(xué)觀察力是一種有目的、有選擇的對(duì)數(shù)學(xué)材料的知覺(jué)能力． 教會(huì)學(xué)生閱讀，就是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)材料的直觀判斷力，這種判斷包括對(duì)數(shù)學(xué)材料的深層次、隱含的內(nèi)部關(guān)系的實(shí)質(zhì)和重點(diǎn)，逐步學(xué)會(huì)歸納整理，善于抓住重點(diǎn)以及圍繞重點(diǎn)思考問(wèn)題的方法． 這在預(yù)習(xí)和課外自學(xué)中尤為重要．

2． 鼓勵(lì)學(xué)生“議”． 在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，對(duì)于那些容易混淆的概念，沒(méi)有把握的結(jié)論、疑問(wèn)，就積極引導(dǎo)學(xué)生議，真理愈辯愈明，疑點(diǎn)愈理愈清． 對(duì)于學(xué)生在議中出現(xiàn)的差錯(cuò)、不足，教師要耐心引導(dǎo)，幫助他們逐步得到正確的結(jié)論．

3． 引導(dǎo)學(xué)生勤“思”． 從某種意義上來(lái)說(shuō)，思考尤為重要，它是學(xué)生對(duì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)的深化和提高的過(guò)程． 養(yǎng)成反思的習(xí)慣，反思自己的思維過(guò)程，反思知識(shí)點(diǎn)和解題技巧，反思各種方法的優(yōu)劣，反思各種知識(shí)的縱橫聯(lián)系，適時(shí)地組織引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)想象：題設(shè)條件能否減弱?結(jié)論能否加強(qiáng)？問(wèn)題能否推廣？等等．

鼓勵(lì)質(zhì)疑，讓學(xué)生學(xué)有創(chuàng)見(jiàn)

我們會(huì)經(jīng)常遇到這樣的情況：有的學(xué)生在解完一道題時(shí)，總是想問(wèn)老師或找些權(quán)威的書(shū)籍，來(lái)驗(yàn)證其結(jié)論的正確． 這是一種不自信的表現(xiàn)，他們對(duì)權(quán)威的結(jié)論從沒(méi)有質(zhì)疑，更談不上創(chuàng)新． 長(zhǎng)此以往的結(jié)果，他們只能變成唯有書(shū)本是真理的“書(shū)呆子”． 中學(xué)階段，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生相信自己，敢于懷疑的精神，甚至應(yīng)該養(yǎng)成向權(quán)威挑戰(zhàn)的習(xí)慣，這對(duì)他們現(xiàn)在的學(xué)習(xí)，特別是今后的探索和研究尤為重要． 如果真找出“權(quán)威”的錯(cuò)誤，對(duì)學(xué)生來(lái)講也是莫大的鼓舞． 例如：拋物線y2=2px的一條弦直線是y=2x+5，且弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，求此拋物線方程． 某教師答案特意寫(xiě)成如下形式：

由y=2x+5，y2=2px得：4x2+（20-2p）x+25=0①．

由x1+x2==4得p=18，故所求拋物線方程為y2=36x．

然后讓學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑：把p=18代入方程①，方程無(wú)實(shí)解；或方程①要有Δ=4p（p－20）>0，即p<0，或p>20，故p=18不合題意． 本題無(wú)解．

教學(xué)中，對(duì)這樣的新發(fā)現(xiàn)、巧思妙解及時(shí)褒獎(jiǎng)、推廣，能激起他們不斷進(jìn)取、努力鉆研的熱情． 而且筆者認(rèn)為，質(zhì)疑教學(xué)，對(duì)學(xué)生今后獨(dú)立創(chuàng)造數(shù)學(xué)新成果很有幫助，也是數(shù)學(xué)探索能力的一個(gè)重要方面． 教師還要深入分析并把握知識(shí)間的聯(lián)系，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，依據(jù)思維規(guī)律，提出恰當(dāng)?shù)母挥趩l(fā)性的問(wèn)題，去啟迪和引導(dǎo)學(xué)生積極思維． 同時(shí)采用多種方法，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、試驗(yàn)、分析、猜想、歸納、類比、聯(lián)想等思想方法，主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題．

教師還要引導(dǎo)學(xué)生廣開(kāi)思路，重視發(fā)散思維，鼓勵(lì)學(xué)生標(biāo)新立異，大膽探索． 例如，已知點(diǎn)P（x，y）是圓（x－3）2+（y－4）2=1上的點(diǎn)，求的最大值和最小值． 本題用參數(shù)方程或直接利用點(diǎn)在圓上的性質(zhì)，解決較煩瑣． 此時(shí)應(yīng)打破常規(guī)，恰當(dāng)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合． 設(shè)k=，問(wèn)題變?yōu)榍笾本€y=kx的斜率的最大值和最小值問(wèn)題，再進(jìn)一步引導(dǎo)，求的最大值和最小值問(wèn)題，可把定點(diǎn)分圓上、圓內(nèi)、圓外幾種情況進(jìn)行討論，由此可使學(xué)生對(duì)求之類的數(shù)的最大值、最小值問(wèn)題的幾何意義有更深入的了解． 因此，教師不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，而且要鼓勵(lì)創(chuàng)新，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)．

因題施教，培養(yǎng)問(wèn)題解決能力

1． 對(duì)存在型探索性問(wèn)題的教學(xué)． 這類問(wèn)題一般具有上述①②④特征，通常討論的是在給定的題設(shè)條件下是否存在某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象或成立某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的問(wèn)題，具體提法常常是某個(gè)數(shù)學(xué)事物或某種特征是否存在，若存在求出這個(gè)事物或特征，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由． 解這類問(wèn)題的基本策略是：先假設(shè)所探求的對(duì)象存在或結(jié)論成立，以假設(shè)為前提進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若推出矛盾則假設(shè)不成立，從而得到否定的結(jié)論，即不存在；相反則存在，事實(shí)上是借用反證法的思路．

例1 已知常數(shù)a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在BC，CD，DA上移動(dòng)，且==，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖1），是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的位置及此定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖1

分析：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩點(diǎn)距離的和為定值．

解：按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）．

設(shè)===k（0≤k≤1）．

由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak），直線OF的方程為：2ax+（2k－1）y=0①．

直線GE的方程為：－a（2k－1）x+y－2a=0②．

從①②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)滿足方程2a2x2+y2－2ay=0，

整理得+=1．

當(dāng)a2=時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)．

當(dāng)a2≠時(shí)，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng)．

即當(dāng)a2<時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)-，a，，a的距離之和為定值．

當(dāng)a2>時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)0，a-，0，a+的距離之和為定值2a．

2． 對(duì)歸納型探索性問(wèn)題的教學(xué)． 這類問(wèn)題通常討論的是給出一些特殊情況的結(jié)論，要求推斷出一般的或普遍性結(jié)論的問(wèn)題． 大多涉及自然數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如含自然數(shù)n的等式、不等式、整除問(wèn)題和有關(guān)的幾何問(wèn)題等等． 解這類問(wèn)題的基本策略是從條件出發(fā)通過(guò)觀察、試驗(yàn)、分析、比較、歸納、猜想，探索一般規(guī)律；然后對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明． 如果是含自然數(shù)n的命題可采用數(shù)學(xué)歸納法，否則可采用演繹推理的方法．

例2 設(shè)數(shù)列｛ａｎ｝滿足an+1=a－nan+1，n＝1，2，3，…

（Ⅰ）當(dāng)a1=2時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出｛ａｎ｝的一個(gè)通項(xiàng)公式．

（Ⅱ）當(dāng)a1≥3時(shí)，證明對(duì)所有的n≥1有

（ⅰ）an≥n+2；

（ⅱ）++…+≤．

解：（Ⅰ）由a1=2，得a2=a－a1+1=3，

由a2=3，得a3=a－2a2+1=4，

由a3=4，得a4=a－3a3+1=5．

由此猜想｛ａｎ｝的一個(gè)通項(xiàng)公式：an=n+1（n≥1）．

（Ⅱ）（ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥3=1+2，不等式成立；

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即ak≥k+2，那么，ak+1=ak（ak－k）+1≥（k+2）?（k+2－k）+1≥k+3，也就是說(shuō)，當(dāng)n＝k+1時(shí)，ak+1≥（k+1）+2．

根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥1，有an≥n+2．

（ⅱ）由an+1=an（an－n）+1及（ⅰ），對(duì)k≥2，有ak=ak-1（ak-1－k+1）+1≥ak-1（k－1+2－k+1）+1=2ak-1+1，

……

所以ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1（a1+1）－1．

于是≤?，k≥2，

≤+=≤≤=．

3． 對(duì)比較型探索性問(wèn)題的教學(xué)． 對(duì)通常討論的是若干對(duì)象之間的關(guān)系或某些性質(zhì)上的異同問(wèn)題，經(jīng)常出現(xiàn)的形式是判斷幾個(gè)代數(shù)式或某些數(shù)值的大小，比較幾個(gè)函數(shù)、幾條曲線之間的異同，比較數(shù)列之間的差異． 求解策略視比較而定，對(duì)比較數(shù)、式大小可采用作差、作商、代數(shù)基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法來(lái)處理，從邏輯方法角度考慮可選用綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等． 對(duì)比較幾個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)的問(wèn)題一般先分析所比較數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)的特征，然后用類比聯(lián)想法來(lái)作出分析和比較，如對(duì)函數(shù)的比較可采用數(shù)形結(jié)合、特殊化等方法．

例3 已知數(shù)列｛bｎ｝是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．

（Ⅰ）求數(shù)列｛bｎ｝的通項(xiàng)bn；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛aｎ｝的通項(xiàng)an=loga1+（其中a>0，且a≠1），記Sn是數(shù)列｛aｎ｝的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論．

本小題主要考查等差數(shù)列基本概念及其通項(xiàng)求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，考查歸納、推理能力以及用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行論證的能力．

解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛bｎ｝的公差為d，由題意得b1=1，10b1+d=145，

解得b1=1，d=3，所以bn=3n－2．

（Ⅱ）由bn=3n－2，知Sn=loga（1+1）+loga（1+）+…+logn1+=loga（1+1）1+…1+，

而logabn+1=loga．

因此要比較Sn與logabn+1的大小，可先比較（1+1）1+…1+與 的大小．

取n＝1有（1+1）>，

取n＝2有（1+1）1+>，

……

由此推測(cè)（1+1）1+…1+>①．

若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：

當(dāng)a>1時(shí)，Sn>logabn+1；

當(dāng)0

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式．

（ⅰ）當(dāng)n＝1時(shí)已驗(yàn)證①式成立．

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1）時(shí)，①式成立，即（1+1）1+…1+>，

那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，（1+1）1+…1+1+>?1+=（3k+2）．

因?yàn)椋?k+2）3－［］3==>0，所以（3k+2）>=，因而（1+1）?1+…1+1+>．

這就是說(shuō)①式當(dāng)n＝k+1時(shí)也成立．

由（ⅰ）（ⅱ）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立．

由此證得：

當(dāng)a>1時(shí)，Sn>logabn+1；

當(dāng)O

4． 對(duì)討論型探索性問(wèn)題的教學(xué)． 這類問(wèn)題通常是討論題設(shè)中包含的多種可能的情形或題設(shè)中含有在某一取值范圍內(nèi)變化的參數(shù)，導(dǎo)致探索結(jié)果有多種可能的情形，有時(shí)問(wèn)題比較隱蔽，常以前三類問(wèn)題中某一類型的形式出現(xiàn)．解題基本策略是首先發(fā)現(xiàn)題設(shè)包含的多種可能，然后采用分類討論的方法來(lái)處理（如例1）．

探索性問(wèn)題一般以解答題形式出現(xiàn)，但這幾年也出現(xiàn)在選擇題和填空題中，如例4—例6，解題過(guò)程略．

例4 向高為H的水瓶中注水，注滿為止，若注水量V與深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，

圖2

那么水瓶的形狀可能是：（ B ）

例5 如圖3，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時(shí)，有A1C⊥B1D1． （注：寫(xiě)上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形．）

圖3

例6 α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面外的兩條不同直線． 給出四個(gè)論斷：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．

以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題．

探索性問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題． 總結(jié)探索性問(wèn)題的類型及求解策略，有助于學(xué)生熟悉題型特征，掌握解題方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，觀察、試驗(yàn)、類比和歸納能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及探索能力等，實(shí)現(xiàn)綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．