讓智慧之光照亮數學課堂教學的各個環節

摘 要：讓數學課堂充滿生機，遍布靈動；讓每一位學生在數學課堂上都學得輕松，無枯燥乏味之感；讓智慧充滿課堂，引領師生共同成長，是教育的本真，時代的需求． 如何還數學教學以本真的魅力，即在探索中求知、在思考中求智、在品味中求美？如何讓智慧之光照亮數學課堂教學的各個環節？如何讓每個學生真正體驗到數學學習的快樂與幸福呢？本文對此做了一些有益的嘗試．

關鍵詞：數學課堂；智慧；幸福

國家督學成尚榮教授指出：“課堂教學改革就是要超越知識教育，從知識教育走向智能教育，從培養‘知識人’轉變為培養‘智慧者’，用教育哲學指導和提升教育改革，就是要引領教師和學生愛智慧，追求智慧．” 由此可見，讓智慧充滿課堂，讓智慧引領師生共同成長，是教育的本真、時代的需求．如何讓智慧之光照亮數學課堂教學的各個環節，如何讓每個學生真正體驗到數學學習的快樂與幸福呢？下面以我校周淦利老師的一堂公開課“間接證明——反證法”為例，談一些膚淺的認識，不妥之處，敬請斧正．

創設情境的智慧性——良好的開端

情境1 今天，教室里賓朋滿座，濟濟一堂． 我們能不能做出這樣的判斷：在座的各位中至少存在兩個人，他們的生日在同一個月？為什么？

學生1：是的，因為在座的肯定超過了20人，而一年只有12個月，因此在座的各位中一定至少存在兩個人，其生日在同一個月．

教師：你的判斷正確，說理清楚．如果老師繼續問你，為什么人數超過20人，一年只有12個月，就一定至少有兩個人生日在同一個月呢？

學生1（稍作思考）如果在座的各位生日都不在同一個月，那么一年不就肯定超過了12個月．

教師：（微笑）很好！你從正反兩個方面都加以了說明，真可謂是滴水不漏啊．

（由于公開課的教學環境發生了變化，學生免不了會覺得不適，一個真實情境的介入，首先能拉近教師與學生之間的心理距離，這是師生對話、互動、交流的前提．其次，該問題本身可以為“直接證明與間接證明”的比較以及“反證法”的學習提供策略上的認識．創設這樣的問題情境是多么富有智慧呀！）

情境2 在《三國演義》中有這樣一段記載：曹操領著士兵行軍，途中口渴難忍，這時大家看到路邊的樹上結滿了梨子，士兵們喜出望外，但曹操卻對士兵說：這路邊的梨子不能吃． 有人摘下一梨品嘗，果真苦不堪言，無法下咽．請問：曹操怎么會做出這樣的判斷．

學生的情緒非常高漲，公認的說法是：如果梨子能吃，早就給人摘光了．

教師：這種逆向思考問題的方式，閃耀著人類理性思維的光芒．那么，這種推斷方法對數學命題的證明有什么啟發呢？

問題初探的智慧性——交流的平臺

請你嘗試 設a，b是異面直線，在a上任取兩點A，C，在b上任取兩點B，D，試證：AB和CD也是異面直線．

學生2：（稍停片刻）假設AB和CD共面于α，則點A，B，C，D都在平面β內，于是α?奐α，b?奐α. 這與已知條件中，是異面直線矛盾，故AB和CD也是異面直線．

圖1

教師：上述證明方法與直接證明有什么區別？

學生：直接證明是從原命題的條件逐步推得結論，而該題的證明則是從否定結論入手．

教師：我們把這種改變了結論屬性的證明，即不是直接證明的方法稱為間接證明．反證法是最常見的間接證明，此外，同一法也是一種間接證明． 我們今天側重研究反證法． 引出課題：“間接證明——反證法”．

建構數學的智慧性——能力的培養

教師：請你嘗試概括一下反證法的證明過程．

學生3：否定結論——推出矛盾——肯定結論．

教師：也就是說反證法有三個步驟：反設——歸謬——存真． 用反證法證明命題“若p則q”的過程，能否用框圖來表示呢？

（在師生互動之時，邊用課件出示內容，邊作理性分析，以滲透算法思想，啟動“命題與命題的否定真假對立”知識內容，感悟反證法的邏輯依據．）

教師：反證法的操作流程非常清晰，但解決問題時，首先能否想到反證法，其次是要會否定結論，當然歸謬這一步更是一個充滿玄機且富有挑戰性的一步． 能否說明一下為什么證明異面直線常用反證法．

學生4：因為異面直線是指不同在任何一個平面內的兩條直線，也就是說找不到這樣的平面，使這兩條直線同在這個平面內．

教師：怎么找？人的生命是有限的，而平面的個數是無限的．

學生都大笑，異口同聲地說：因此只能用反證法！

（通過一個具體例子的分析解決，可以增強學生對新知識、新方法的感性認識，并與舊知識作比較，在教師的引領下，逐步提煉、歸納、抽象、概括，構建起良好的認知結構，從而使知識的增長與能力的培養同步發展．）

數學運用的智慧性——真諦的感悟

例1 已知a，b，c都是正數，求證：a+，b+，c+三個數中至少有一個不小于2.

稍停片刻，待學生思考后，教師讓學生說一說解題思路：

學生5：至少有一個不小于2，就是指有一個或兩個或三個不小于2，它的反面是沒有一個不小于2，即均小于2，于是可用反證法證明如下：

假設a+，b+，c+均小于2，則a++b++c+<6，而a++b++c+=a++b++c+≥2+2+2=6，這樣就得出了矛盾．

教師：你怎么想到把三個式子相加的？

學生：我想這樣可以讓互為倒數的兩數配對，為基本不等式的運用做鋪墊．

教師：很好！思路非常清晰！

解題完畢，引導學生做解題反思：

（1）證明本題時，你是怎么想到用反證法的？反設時應注意什么？（否定結論，可以化不確定為確定）

（2）反證法中歸謬是核心步驟，本題中得到的邏輯矛盾歸屬哪一類？（自相矛盾）

（數學解題活動是一個由聯想所學知識、運用數學思想方法、不斷由低級向高級逐步抽象的復雜的心理過程，因而解題反思的對象應逐漸由數學知識、思想方法這些相對具體的層面，向數學觀念、解題策略等更為抽象的層面發展，以使解題者能從更高的觀點、更寬的視野、更理性的眼光，去思考數學問題，感悟數學原理，提高“元認知”水平）

例2 證明：不是有理數．

教師：是無理數，當然就不是有理數，這還用證明嗎？讓我們穿過時光隧道，回到古希臘時代，重溫那段曾經導致過一次重大數學危機的無理數發展史． 在古希臘，畢達哥拉斯學派都認為，任何線段的長度都可以用兩個整數的商表示出來． 最早，亞里士多德發現，單位正方形的對角線長就無法用兩個整數的商表示出來，這引起了畢氏學派的震驚和困惑，大家都想守住這個秘密，但還是被希帕蘇斯泄露了出去，傳說他被扔進大海淹死了，后來，歐多克斯用不可約量的方法化解了這場危機． 了解了這段數學史，你能嘗試其證明了嗎？

學生6：直接證明無從下手，正難則反，即假設是有理數，去推出矛盾．

（讓學生說解題思路，教師板演，并配以適當的提示和提煉，在師生互動中，使學生的思維活動從感性走向理性，從淺顯走向深刻．）

學生6：假設是有理數，則可設=，其中p，q為互質的正整數．

教師：你怎么會想到設=的？后面再怎么辦？

學生6：根據畢達哥拉斯學派的觀點唄（課堂上充滿了笑聲）． 兩邊平方整理得2q2=p2……（1）

教師：有沒有產生矛盾？從中你發現了什么信息？

學生6：還沒有發現矛盾，但可得出p是偶數，于是可設p=2m，m為正整數，代入（1）得q2=2m2……（2）

教師：現在是否產生矛盾了？從中你又發現了什么信息？

學生6：矛盾還不明顯，但能發現q也是偶數，于是p，q至少有公約數2，這與假設中p，q互質矛盾，故不是有理數．

再次引導學生做解題反思：

（1）證明本題的關鍵是哪一步？推理的核心與動力來自于什么？（關鍵是設=，推理的核心與動力是文字語言符號化）

（2）本題中得到的邏輯矛盾歸屬哪一類？（與臨時假設矛盾）

歸納總結的智慧性——經驗的共享

教師：通過本節課的學習你有哪些特別的收獲？

（利用開放性的小結，可以使不同層次的學生參與其中，有的對數學知識加以整理性的小結，理清了知識的脈絡；有的談了數學思想方法和思考策略對解題的引領作用；也有的學生對數學發展史特別感興趣． 多位學生的收獲縱橫交叉，互為照應，構成了相對完整的總結．）

教師：哪些命題適宜用反證法加以證明？

先讓學生做發散性討論，再做適當總結：總的來說，直接證明“山重水復疑無路”時，反證法常能起到“柳暗花明又一村”的功效． 具體地說，當所證命題的結論為否定形式（結論的否定之否定即為肯定）或含有“至多”、“至少”等不確定詞（化不確定為確定），還有“存在性”、“唯一性”等問題，都可以考慮嘗試用反證法．

教師：歸謬是反證法的核心步驟，歸謬得到的邏輯矛盾，常見的類型有哪些？

讓學生重新審視例題后得出：與數學中已知的事實矛盾，與已知條件、臨時假設矛盾，自相矛盾等多種情形．

作業布置的智慧性——技能的生成

1． 教材P84習題2.2第8、9兩題；

2． 通過一些實例，就“合情推理”與“演繹推理”，或者“直接證明”與“間接證明”的比較與綜合，寫一篇小論文，談一談你對數學中哲學思想的感悟． 要求標題自選，本學期內交，作為該模塊學業成績的一部分．

（這種布置長作業的方法，充分體現了教師的智慧，因為長作業布置對提高學生的綜合素質和領悟能力以及促進學生技能的生成有著極其重要的作用．）

結 語

我們追求著教育的智慧，追求著智慧的教育，追求著充滿智慧靈動的課堂，努力從塑造“知識人”走向培養“智慧人”． 教師在課堂教學中應當注重讓學生“感受過程，習得規律，發展智慧，體驗幸福”；在設計教學程序時，應當注重培養學生的獨立性和自主性；在組織學生學習時，應當努力處理好自己的角色位置，重視引導學生質疑、調查和探究，讓學生在實踐中學習，在教師的指導下主動地、富有個性地學習，最終達到“在樂學中啟智，在成功中開慧”．