等比數列前n項和公式的教學設計及反思

摘 要：在數學課堂教學中，教師要把學生當做學習的主人，激發他們的學習動機，引導學生主動參與，充分發揮他們的主體作用，同時教師要善于根據教材內容的特點和學生的實際，想方式法創造條件，讓學生主動地進行探索與交流． 本文以等比數列求和公式的推導為例，對數學課堂教學進行反思．

關鍵詞：等比數列求和公式；教學設計；反思；新課改；自主探究

在新課程改革的今天，課堂教學的成敗取決于學生是否能積極、主動地參與到學習過程中，因此要提高課堂教學質量，就要真正確立學生的主體地位，通過師生互動充分挖掘學生的思維潛力，在教師的引領下，倡導師生的思維對話，鼓勵學生個性思維的發揮．等比數列前n項和公式的推導方法既是一個教學重點，又是一個教學難點．怎樣突破這一難點呢？筆者將幾個教學設計方案呈現給大家，并做出一些反思．

方案一

直接給出等比數列的前n項和公式，向學生介紹公式的推導方法．

方法1：由等比數列的定義，知===…==q，

由等比定理得：=q，即=q，

所以（1－q）Sn=a1－an?q．

將an=a1?qn-1代入得（1－q）Sn=a1（1－qn），

所以當q≠1時，Sn=；

當q=1時，Sn=na1．

方法2：（教師引導：能不能像推導等差、等比數列通項公式的方法，列出一些等式，然后疊乘或疊加呢？）

a2=a1q，

a3=a2q，

a4=a3q，

……

an=an-1?q.

將以上等式的兩邊分別相加，得a2+a3+a4+…+an=q（a1+a2+a3+…+an-1），

即：Sn－a1=q（Sn－an），

所以（1－q）Sn=a1－anq．

（以下過程同法一）

反思

方案一是由教師直接“拋出”等比數列前n項和的公式，學生被動接受． 學生已經知道問題的結論，就失去探索未知的動力． 如果沒有教師引導，普通學生不易找到公式推導的思路，只能是由教師提供方法，學生更多的是驚嘆于方法的神奇，卻沒有自主獲得結論的成就感． 教師在實施課堂教學過程中，應當更新教育理念，改變以往那種灌輸——接受的教學模式，讓學生從機械、呆板、被動的學習中解放出來． 在教學過程中要通過多種教學組織形式，引導學生積極主動的學習，使學習成為在教師引導下主動、富有個性的過程．

方案二（教師先給出一個情境）

國王要獎賞國際象棋的發明者，問他想要什么，發明者說：“陛下，請您在這張棋盤的第一個小格內，賞給我一粒麥子，在第二個小格內給兩粒，第三格內給四粒，以此類推，每個格子里放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到第64個格子為止． 把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人吧．” 國王覺得這并不是很難辦到的事，就欣然同意了他的要求． 你認為國王應該給發明者多少粒麥粒呢？國王有能力滿足發明者的要求嗎？

從這一情境中提煉問題：S64=1+2+22+…+263①．

（教師引導：上式中的數有何特點？若用公比2乘以等式的兩邊所得新式子有何特點？）

若用公比2乘以等式的兩邊，得2S64=2+22+23+…+264②．

（教師引導：觀察①與②兩式有何關系？）

為了便于比較①②兩式，我們將它們列在一起：

S64=1+2+22+…+263①，

2S64=2+22+23+…+264②．

（教師引導：①與②兩式可如何處理？）

若②式減去①式，可以消去相同的項，得到：S64=264－1．

（回歸問題：我們可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產量的459倍，顯然國王無法滿足發明者的要求．）

（知識類比：能否仿照上述解題方法，給出一般等比數列的前n項和？）

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1，

觀察等式右端，若每一項乘以公比q，就得到它后面相鄰的一項，在等式兩邊乘以公比q，得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn．

將兩式的兩端分別相減，就可消去這些共同項，

所以（1－q）Sn=a1－a1qn．

當q≠1時，Sn=；當q=1時，Sn=na1．

這種求和方法稱為“錯位相減法”，是研究數列求和的一個重要方法．

反思

方案二通過設計情境引入課題，激發了學生的興趣，調動了學習的積極性．創設問題情境時往往并不直接揭示所學的數學內容，而需要學生基于自己的實踐和思考，從中提煉數學信息，因此，學生的許多富有創造性的想法可以從情境中引發出來． 方案二采用了從特殊到一般的思想方法，但沒有突破錯位相減的認知“瓶頸”，依然有“拋出”的嫌疑．

方案三 設計如下問題情境

1． 1－q2= _____________．

（1－q2=（1－q）（1+q））

2． 1－q3= _______________．

（1－q3=（1－q）（1+q+q2））

3． 猜想：1－qn=______________． ①

答案：1－qn=（1－q）（1+q+q2+…+qn-1）．

4． 寫出等比數列Sn的表達式：

__________________________． ②

（Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1（1+q+q2+…+qn-1）

5． 對比①和②，你發現了什么？Sn=_____________________，求Sn時要注意什么？如何記憶Sn公式？

（當q≠1時，Sn=；當q=1時，Sn=na1）

6． 對于①式，我們只是猜想，如何證明？（利用多項式的運算法則）

7． 現在要你推導一次Sn的公式，你會嗎？

8． 把你的推導與教材的推導進行對比，你能知道為什么要這樣推導了嗎？

9． 深化與應用：已知｛ａn｝為等比數列（q≠1），定義Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，你能根據回答以上問題得到的啟發求出Tn的最簡式嗎？能否把你推導出的結論進行進一步推廣？

反思

方案三通過創設問題情境，讓學生從已有知識入手推導出公式，在這個過程中讓學生學會猜想、觀察、對比、發現、證明、應用等，層層深入進行自主探究，充分挖掘了學生的思維潛力． 自主探索是學生獲取知識、形成能力的關鍵． 學生對數學的認識不僅要從數學家已經研究過的現成的數學觀點中去領悟，更要在數學活動的實踐中親身去體驗知識產生的過程． 因此，必須讓學生“自主探索”（包括觀察、描述、操作、猜想、實驗、收集整理、思考、推理、交流和應用等），親身體驗如何“做數學”，如何實現數學的“再創造”，從而激發學生的求知欲． 同時，每個學生都有分析、解決問題的潛能，都有與生俱來的把自己當做探索者、研究者、發現者的本能，有證實自己思想的欲望，教師能否抓住這一點，是其數學教育成功與否的關鍵．

方案四

復習等差數列的前n項和公式的推導方法——倒序相加法，激發學生類比聯想：等比數列是不是也可以用類似的方法進行求和呢？這時學生會用倒序相加的方法來進行思考，結果顯然是行不通的．

教師適時點撥，引導學生進行思維發散——從倒序相加的定式中解脫出來． 等差數列的求和方法，形式上是倒序相加，本質上就是把省略號（……）的“無形”化為“有形”（上下對應兩項的和都等于a1+an）． 對于等比數列而言，難點也是如何把省略號（……）的“無形”化為“有形”？引導學生從等比數列的定義出發，進一步認識等比數列從第二項起，每一項都是前一項的q倍，也就是說將每一項乘以q以后就變成了它的后一項，那么將Sn這個和式的兩邊同時乘以q，則在qSn這個和式與Sn的和式中，就會出現許多相同的項． 這樣通過兩個和式相減，消去了一些中間項，使帶有省略號的含任意有限項的式子變成僅含有幾項的式子，從而使問題得到解決．

反思

方案四借助推導等差數列求和公式的思想方法，類比尋求推導等比數列的前n項和公式的方法． 類比就是依據兩個或兩類數學對象的相似性進行聯想，把它們其中一個數學對象已知的、較為熟悉的特殊性遷移到另一個和它相似的數學對象上去，進而得到新的發現或規律的思想方法． 類比思維是一種獲得數學發現的重要數學思想，在數學學習和解題中起著至關重要的作用．有意識地、合理地運用類比法，不僅對教學效果大有裨益，而且可以幫助學生更好地建立認知結構，探索和發現新的命題、新知識，增強創新能力和解決問題的能力． 教學中著力培養學生類比推理能力是發展學生發現和自主創新的有效途徑，是新課標所倡導的“合情推理”的重要體現．

結束語

新課改實踐主陣地是課堂教學，課堂教學中要體現新課改的理念和要求，就得改變過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的狀況，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力． 課堂教學中，只有努力滿足學生的學習需求，激發學生的學習興趣，使學生能夠愛學、喜學和樂學，激活學生的認知活動，才能促使學生積極主動地參與教學過程，才能實現數學課堂的高效率和高質量．