高中數(shù)學(xué)題目編制再思考

摘 要：對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師而言，不僅要注重自己的教學(xué)，也要注意提升自己自編或改編習(xí)題的基本能力，而這要求高中數(shù)學(xué)教師首先要有編制題目的意識(shí)，這樣就能在日常教學(xué)中捕捉編制題目的契機(jī)，敏銳地抓住各類素材，從而編制出一些合適的題目．

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；評(píng)價(jià)；編制題目

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，評(píng)價(jià)是繞不開的一個(gè)教學(xué)主題．高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的評(píng)價(jià)，正確評(píng)價(jià)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中獲得的基本知識(shí)與形成的基本技能．

眾所周知，目前評(píng)價(jià)的主要方式就是題目評(píng)價(jià)，即按照課程標(biāo)準(zhǔn)提出的評(píng)價(jià)要求（高考時(shí)還要考慮選拔功能等），將問題以題目的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，通過學(xué)生解答問題的結(jié)果，來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生在知識(shí)、技能方面所得到的訓(xùn)練及相關(guān)心理特征． 當(dāng)然，這樣的評(píng)價(jià)同時(shí)也評(píng)價(jià)教師的教學(xué)水平與能力．

由于目前的評(píng)價(jià)主要為題目評(píng)價(jià)，所以，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師而言，不僅要注重自己的教學(xué)，也要注意提升自己自編或改編習(xí)題的基本能力，而這要求高中數(shù)學(xué)教師首先要有編制題目的意識(shí)，這樣就能在日常教學(xué)中捕捉編制題目的契機(jī)，敏銳地抓住各類素材，從而編制出一些合適的題目．

筆者結(jié)合日常教學(xué)實(shí)踐與思考，將近年來(lái)的有關(guān)思考形成文字，期待與高中數(shù)學(xué)同行分享．

編制系列基礎(chǔ)題，考查、提升學(xué)生掌握知識(shí)的熟練程度

對(duì)一個(gè)知識(shí)掌握的熟練程度在一定程度上反映了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度．例如，在三角函數(shù)的教學(xué)中，一般要求是：借助于函數(shù)的圖象去理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間［0，2π］上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大與最小值、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等）；了解正切函數(shù)在－，區(qū)間上的性質(zhì)等． 而對(duì)于三角函數(shù)的變換，則提出這樣的教學(xué)要求：能從兩個(gè)角的差的余弦公式推導(dǎo)出兩個(gè)角的和與差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式等．

筆者在新課教學(xué)后，通過作業(yè)和口頭詢問等方式，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀與上述要求存在一定的距離，遇到一些不太難的問題時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)低級(jí)的錯(cuò)誤． 分析之后，筆者認(rèn)為這是對(duì)知識(shí)理解不透，對(duì)解題思路不熟悉導(dǎo)致解題能力不強(qiáng)引起的．為了縮小距離，彌補(bǔ)學(xué)生在知識(shí)上的缺陷與不足，提高學(xué)生解答此知識(shí)點(diǎn)的題目的熟練程度，筆者改編了一個(gè)系列的題目對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，取得了比較好的效果． 筆者在這里僅選其中的一道題目，與同行們分享．

改編題目1：已知函數(shù)f（x）=4sin2x+sin4x．

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）畫出函數(shù)y= f（x）區(qū)間－，上的圖象．

像本題一樣的系列題目基本上就圍繞三角函數(shù)最簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練，以期達(dá)到一種“熟能生巧”的境界，事實(shí)證明，這樣的策略所取得的教學(xué)效果是非常不錯(cuò)的．

值得注意的是，在針對(duì)培養(yǎng)學(xué)生解題熟練程度這一目標(biāo)而改編或自編題目時(shí)，特別要注意有的放矢，首先要通過習(xí)題反饋、課堂提問、課后抽樣調(diào)查等方式，準(zhǔn)確把握學(xué)生在知識(shí)上存在的薄弱環(huán)節(jié)，然后再收集、改編、自編題目來(lái)對(duì)癥下藥，這樣才能收到預(yù)期的效果．

編制數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，考查、提升學(xué)生的建模能力

高中數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的“學(xué)以致用”的功能，因此，高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了流行的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，即具有實(shí)際生活背景或具有生活實(shí)際意義的數(shù)學(xué)問題，其多是從原始的數(shù)學(xué)問題中簡(jiǎn)化而來(lái)的． 解決這樣的題目，需要學(xué)生較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模能力，當(dāng)然在解決問題的過程中，學(xué)生又自然培養(yǎng)、提升了數(shù)學(xué)建模能力． 學(xué)生在解決這種數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的過程中，面臨的主要障礙往往是不能順利地將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，思維當(dāng)中無(wú)法建立有效的數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)致解題失敗． 一言以蔽之，數(shù)學(xué)建模能力是解決數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵．

面對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中這一常見的教學(xué)問題，筆者的思路是通過兩步呈現(xiàn)的方法，即首先呈現(xiàn)給學(xué)生實(shí)際問題，然后將實(shí)際問題進(jìn)行抽象，使之變成數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生參與抽象的過程． 于這種親身參與的過程中，學(xué)生能體驗(yàn)到一個(gè)實(shí)際問題是如何演變成高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的，從而逐步形成建模能力，進(jìn)而能夠解決相似情境下的問題．例析如下，

生活實(shí)際問題的呈現(xiàn)：某超市出售某品牌的牛奶，第一個(gè)月賣出了200箱，賺了1000元；第二個(gè)月搞促銷賣了250箱，賺了1200元；老板比較后發(fā)現(xiàn)搞促銷并不太合算，平均賺錢還不如第一個(gè)月多；于是第三個(gè)月提高了牛奶的每箱單價(jià)，結(jié)果賣出了150箱，賺了700元． 他感覺很納悶：怎么我賣得便宜不劃算，賣得貴也不劃算，每箱賣多少錢才劃算呢？

教師將類似于上述情形呈現(xiàn)給學(xué)生，應(yīng)該說(shuō)這是一個(gè)從實(shí)際生活中提取出來(lái)的未經(jīng)精加工的原始數(shù)學(xué)問題． 其一般不適宜直接讓學(xué)生解答，因?yàn)檫@樣的實(shí)際情形不一定能尋找到規(guī)律． 但可以借助于它來(lái)激發(fā)學(xué)生興趣，吸引學(xué)生的參與． 在此基礎(chǔ)上，教師提出：很顯然，從三個(gè)月的數(shù)據(jù)中我們能感受到賺錢多少與牛奶箱單位與出售數(shù)量之間存在一定的關(guān)系，我們能否將此實(shí)際問題改編成一道數(shù)學(xué)題目呢？如果尋找到這一規(guī)律，我們當(dāng)老板就能賺錢嘍．

在這種亦莊亦諧的氛圍中，筆者帶領(lǐng)學(xué)生將上述實(shí)際原始問題改成了一道數(shù)學(xué)問題：

某超市上半年賣牛奶的情況如表1所記錄：已知每箱牛奶批發(fā)價(jià)35元，銷售人員等成本每天合計(jì)100元．

表1

你能根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分析這個(gè)超市在牛奶銷售這一項(xiàng)上如何才能獲得最大的利潤(rùn)呢？試分析并計(jì)算說(shuō)明．

在這樣的過渡當(dāng)中，學(xué)生通過比較可以發(fā)現(xiàn)原始問題與數(shù)學(xué)問題的不同，可以感受到如何從一個(gè)原始題目過渡到高中數(shù)學(xué)題目，一個(gè)隱性的建模過程由此發(fā)生，至于后面利用基本的函數(shù)知識(shí)并運(yùn)用二次函數(shù)進(jìn)行解答的過程則是水到渠成的．

借助經(jīng)典高考試題，考查、提升學(xué)生的分析綜合能力

分析與綜合是高中數(shù)學(xué)解題方法之一，也是高中數(shù)學(xué)思想方法之一． 在歷年的高考試題中，總有相當(dāng)一部分題目是考查學(xué)生的分析綜合能力的． 尤其是高考真題中有一類“現(xiàn)炒現(xiàn)賣”類的題目，即在題干中給出學(xué)生比較陌生的信息，讓學(xué)生通過對(duì)信息的處理獲得新的知識(shí)，然后利用剛剛獲得的知識(shí)進(jìn)行問題的解答． 這類題目需要學(xué)生有基本的閱讀理解能力，更培養(yǎng)了學(xué)生的分析綜合及演繹能力．

也正因?yàn)槿绱耍P者嘗試借助于歷年各地高考真題中的一些經(jīng)典題目，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際進(jìn)行模仿自編或改編，然后將題目提供給學(xué)生，以希望對(duì)提高學(xué)生的分析綜合能力能有明顯的幫助． 事實(shí)證明，這一思路是可行的．

例如，筆者根據(jù)某年某市的高考題進(jìn)行了加工，編制成如下一道題目：

某有窮數(shù)列a1，a2，…，an（n為正整數(shù)），滿足a1=an，a2=an-1，…，an=a1，究其規(guī)律，即ai=an-i+1（i為正整數(shù)，且1≤i≤n），我們稱這樣的數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”．

（1）如果數(shù)列｛ｂn｝是項(xiàng)數(shù)為9的對(duì)稱數(shù)列，且b1，b2，b3，b4，b5成等差數(shù)列，已知b1=4，公差為2，試寫出此數(shù)列的每一項(xiàng)．

（2）對(duì)于一給定的正整數(shù)r>1，請(qǐng)按照規(guī)律寫出所有項(xiàng)數(shù)不越過2r的對(duì)稱數(shù)列，使得1，2，22，…，2r-1能夠成為該數(shù)列當(dāng)中的連續(xù)項(xiàng)．

“對(duì)稱數(shù)列”是超越于教材的知識(shí)，但由于學(xué)生在高中數(shù)學(xué)中學(xué)過相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，因此，此處可以通過對(duì)題目的閱讀理解，結(jié)合自己原來(lái)學(xué)過的知識(shí)，經(jīng)過分析與歸納，從而建構(gòu)起對(duì)對(duì)稱數(shù)列比較完整的認(rèn)識(shí)． 在此基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)上的演繹推理，便可以順利解決后面提出的兩個(gè)小問題．

當(dāng)然，如果由于知識(shí)掌握不全面，或掌握得有缺陷，那么分析與歸納便不可能發(fā)生，演繹更是無(wú)從談起． 因此此類現(xiàn)炒現(xiàn)賣的題目一定要在學(xué)生對(duì)相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)掌握得比較熟練的基礎(chǔ)上，否則便會(huì)拔苗助長(zhǎng)，反而對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)形成阻礙，這是向?qū)W生提供此類題目時(shí)必須注意的．

目前，高中數(shù)學(xué)題目編制已經(jīng)進(jìn)入比較成熟的階段，上述思考如能起到錦上添花的作用，那筆者的目的也就達(dá)到了． 文中不足之處，敬請(qǐng)批評(píng)！