已知三角形三點求三角形面積

摘 要：已知三角形三點求三角形面積，用割補法，從一個矩形中減去三個直角三角形比較簡單，并且方法一般化以后還可以得到高等數學中常用的已知三點求三角形面積的公式．

關鍵詞：割補法；一般化；三角形面積

人教版《數學2》（必修）“點到直線的距離”一節中，例6：已知點A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面積． 課本給出如下解答：

解：設AB邊上的高為h，則S△ABC=AB#8226;h．

AB==2，

AB邊上的高h就是點C到AB的距離．

AB邊所在直線的方程為

=，

圖1

即x+y－4=0，點C（-1，0）到AB的距離

h==，

因此，S△ABC=×2×．

例后，教科書提出“例6還可以有其他解法嗎”，這是一個非常好的教學處理方法，一節課有一節課的知識點，例題主要是為了鞏固相應的知識點，如上面的解法用到兩點間的距離公式和點到直線的距離公式． 如沒有這一問就有可能使學生只會套用模式，思路限制于點到直線的距離和兩點間的距離公式，對學生突破思維的框框、培養創新能力將非常不利．

教參給出的解法用到割補法：如圖1，延長AB交x軸于D，因為AB方程為x+y-4=0，所以D（4，0）在△ACD中，底CD及其上的高易求，另外在△BCD中，底CD及其上的高也易求，△ABC的面積，即為兩個三角形面積之差．

此方法中，底CD易求，高可直接看出，當然比原方法要簡單得多，但還是需要求出AB的方程，才能求D的坐標．

其實用割補法，還可以有更簡單、更原始的方法，化到直角三角形和矩形，問題的答案可直接看出． 如圖2中，S矩形CDEF=12，

圖2

S△ABE=2，S△ACF=3，S△BCD=2，則S△ABC=5．

最后一種方法是可以一般化的：

圖3

如圖3，設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），仿照上面第三種解法：

S矩形BDEF=（x2－x1）（y3－y2），S△BDC=（x2－x3）（y3－y2），S△ABF=（x2－x1）（y1－y2），S△ACE=（x3－x1）（y3－y1），

則S△ABC=（x2－x1）（y3－y1）－（y2－y1）（x3－x1）．

筆者通過探究，無論何種形狀的三角形，三角形的面積與上式最多只相差一個符號，所以S△ABC=（x2－x1）（y3－y1）－（y2－y1）（x3－x1）

用行列式表示為

S△ABC=x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1，行列式外面再加一個絕對值，以保證面積為正．

這是高等數學中常見的已知三角形的三頂點，求三角形面積的公式．

例1 已知△ABC的頂點坐標為A（1，1），B（m，），C（4，2）（1

解：

S△ABC=－（m－1）－（2－）= －m+－1，

所以m=，所以Smax=．