一道高考解析幾何題與圓錐曲線又一統一性質

摘 要：本文從一道高考解析幾何題出發，探討了圓錐曲線過定點的問題，并得出圓錐曲線的又一統一性質．

關鍵詞：圓錐曲線性質；交點坐標；橢圓；雙曲線

眾所周知，圓錐曲線中有一類常見題型就是所謂過定點或定值問題，并且此類問題通常通過方程有無數解或點滿足某方程轉化求解，其轉化途徑主要以一元二次方程，或利用點在曲線上構造方程，即通常所說的“點差法”與“判別式法”，尤其是與直線與曲線位置相關問題，很少要直接解方程組求交點再轉化，但問題的情形有時又是必須解交點才能夠轉化求解．

下面看如下一道高考題：

例（2010江蘇） 在平面直角坐標系xOy中，如圖1，已知橢圓+=1的左、右頂點為A，B，右焦點為F． 設過點T（t，m）的直線TA，TB與橢圓分別交于點M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0．

（1）設動點P滿足PF2－PB2=4，求點P的軌跡；

（2）設x1=2，x2=，求點T的坐標；

（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）．

圖1

分析 本題主要考查求簡單曲線的方程，考查直線與橢圓的方程等基礎知識，考查運算求解能力和探究問題的能力．（1）（2）從略，下面主要看（3），由于本題中M，N兩點在橢圓上，很容易聯想到，從利用點的坐標滿足橢圓方程構造關系式進而轉化尋找，因此設M（x1，y1），N（x2，y2），則過這兩點的直線方程為（y2－y1）（x－x1）－（x2－x1）（y－y1）=0，從而直線MN與x軸的交點的橫坐標滿足x=+y1=． 由于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點分別是兩條直線與橢圓的交點，同時表達式為一次形式，因此一般意義上的“點差法”與“判別式法”就難奏效，要考慮利用直線與曲線相交解方程組求交點坐標，進而轉化，給本題求解帶來一定的難度，

下面先看一般解法：

（3）由點T的坐標為（9，m），得直線MTA方程為=，即y=（x+3），

直線NTB的方程為=，即y=（x－3）． 分別與橢圓+=1聯立方程組，同時考慮到x1≠－3，x2≠3，解得

M，，

N，-．

當x1≠x2時，直線MN的方程為

=，

令y=0，解得x=1．

此時必過點D（1，0）；當x1=x2時，直線MN方程為x=1，與x軸交點為D（1，0）．所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）．

另一方面，從上面求解可以看到直線AM，BN的斜率滿足2kMA=kBN，因此本題可以利用斜率作參數．由點T的坐標為（9，m），得kMA=，kBN=，所以可設直線MA，BN的方程分別為y=k（x+3），y=2k（x－3），聯立直線與橢圓方程得： y=k（x+3），+=1， y=2k（x－3），+=1， 解得

M，，

N，，

代入x=+y1=，可得x=1，下略；

分析一下（3）可以得到實質為兩條直線滿足斜率2倍關系時直線過定點，因此本題（3）可以變為：過A，B兩點作兩條直線MA，NB，當斜率滿足2kMA=kBN時，直線MN與x軸交點為定點．

?搖其次考慮點的特殊性是否可以把上述問題推廣到一般情形呢？即有：

問題1：已知橢圓+=1的左、右頂點為A，B，設過A，B兩點分別作直線TA，TB與橢圓分別交于點M（x1，y1），N（x2，y2），當kTB=2kTA時，求證：直線MN必過x軸上的一定點．

分析：同上，可設直線MA，BN的方程分別為：y=k（x+a），y=2k（x－a），聯立直線與橢圓方程得

y=k（x+a），+=1， y=2k（x－a），+=1， 解得

M，，

N，；

代入x=+y1=，

可得x=，從而結論成立.

另一方面，過兩頂點可以作無數條直線，是否只要當兩條直線斜率滿足2倍關系時才有上述結論呢？事實不是．

問題2：已知橢圓+=1的左、右頂點為A，B，設過A，B兩點分別作直線TA，TB與橢圓分別交于點M（x1，y1），N（x2，y2），當kTB=mkTA時，求證：直線MN必過x軸上的一定點．

簡析：同上，可設直線MA，BN的方程分別為y=k（x+a），y=2k（x－a），聯立直線與橢圓方程得

y=k（x+a），+=1， y=mk（x－a），+=1， 解得

M，，

N，；

代入x=+y1=，

可得x=，從而結論成立.

通過上面的變式討論，我們可以得到關于橢圓過長軸端點的一組直線性質，由于橢圓與雙曲線在性質上有許多可比性，那么上面的問題對于雙曲線是否也成立呢？于是我們還可以有：

問題3：已知雙曲線-=1的左、右頂點為A，B，設過A，B兩點分別作直線TA，TB與橢圓分別交于點M（x1，y1），N（x2，y2），當kTB=2kTA時，求證：直線MN必過x軸上的一定點．

簡析：同上，可設直線MA，BN的方程分別為y=k（x+a），y=2k（x－a），聯立直線與橢圓方程得

y=k（x+a），-=1， y=2k（x－a），-=1， 解得

M，，

N，；

代入x=+y1=，

可得x=，從而結論成立.

可以證明類似問題2的類比結論也成立，因此可以得到關于橢圓與雙曲線的又一共同性質． 同時告訴我們解題后應反思，不論對于解題方法的提高，還是對于一般方法的總結與提升都是很有幫助的．