“龜兔賽跑”新解的群論釋義

摘 要：我們對傳統的“龜兔賽跑”故事賦予新的涵義，并結合群論中元素的階的概念得到新的結果，有利于學生對抽象代數的理解．

關鍵詞：龜兔賽跑；群論；元素的階

龜兔賽跑的故事每個人都耳熟能詳，這里蘊涵著深刻的道理：兔子跑得快，但卻驕傲自大，中途睡覺；烏龜雖然跑得慢，但卻謙虛且持之以恒，毫不氣餒，最先到達終點． 故事告訴我們，處于劣勢的人如果能夠不斷努力、頑強拼搏，最終也能夠取得勝利的．

對龜兔賽跑的故事重新思考：如果兔子中途不睡覺，兔子是不是一定就能最先到達終點呢？請看新“龜兔賽跑”．

兔子和烏龜在運動場上比賽，如圖1：

圖1

從A點出發，沿ABCD，最先到達A點者獲勝． 跑道長為20米，兔子速度為1步/分鐘，每步長為3米；烏龜速度為1步/分鐘，每步長為2米，試問誰最先到達A點？

我們只需計算兔子和烏龜到達A點時所走的步數即可．

這一問題可用近世代數中求解循環群中元素的階數來解決．我們把跑道看做階為20的循環群G=，其中元素a的階數ord（a）=20．

烏龜的步數其實是求元素a2的階數

ord（a2）==10，

而兔子的步數其實是求元素a3的階數

ord（a3）==20，

即烏龜只需要10步可到達A點，而兔子則需要20步方可． 因為比賽規則是到達A點者獲勝，兔子在第6步時距離A點2米，但其第7步卻越過A點1米，因此不算獲勝；在第13步時距離A點1米，但其第14步卻越過A點2米，因此也不算獲勝．

兔子難以接受比賽結果，強烈要求將賽程拉長，重修比賽． 裁判同意了這一要求，將跑道延長至21米，其余條件不變．

此時兔子的步數為ord（a3）==7，

而烏龜的步數為ord（a2）==21，

兔子輕松地贏得了比賽！

當跑道為20米時，烏龜獲勝；跑道為21米時，兔子獲勝． 因此可以說，烏龜擅長短跑，而兔子擅長長跑！

體育比賽是公平的，因為獲勝者主要依靠個人的體能素質，但體育比賽又是不公平的，因為規則的稍微變化足以改變整個比賽的結果，規則就是規則！

你是否從這個故事里面認識到儒家中的 “過猶不及”和“差之毫厘，謬以千里”的哲學思想呢？