從一道高考題看拋物線切線的一個判定及其應用

摘 要：2011年安徽高考理科數學第21題蘊涵拋物線切線的重要性質，本文通過對所求問題的推廣得到拋物線的一個判定及其推論與應用．

關鍵詞：拋物線；切線；推廣；應用

2011年安徽高考理科數學第21題：設λ>0，點A的坐標為（1，1），點B在拋物線y=x2上運動，點Q滿足=λ，經過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足=λ，求點P的軌跡方程．

圖1

簡解：由Q，P，M在同一條垂直于x軸的直線上，可設P（x，y），Q（x，y0），M（x，x2），且B（x1，x）． 由=λ及=λ，得2λ（1+λ）x－λ（1+λ）y－λ（1+λ）=0． 因為λ>0，故λ≠－1，即λ（1+λ）≠0． 等式兩邊同除以λ（1+λ），得y=2x－1. 于是點P的軌跡方程為直線y=2x－1.

仔細觀察結果可以發現一個非常優美的結論：直線y=2x－1剛好是拋物線在點A處的切線方程． 我們可以將問題推廣到一般情況，得到如下拋物線的判定：

命題 設λ≠－1，點A的坐標為（x0，2px），點B在拋物線y=2px2上運動，點Q滿足=λ，經過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足=λ，則點P的軌跡為拋物線在點A處的切線．

證明 由Q，P，M在同一條垂直于x軸的直線上，可設P（x，y），Q（x，y1），M（x，2px2），且B（x2，2px）． 由=λ，=λ，

即2px2－y1=λ（y－2px2），x－x2=λ（x0－x），y1－2px=λ（2px－y1），

可解得y1=2p（1+λ）x2－λy，x2=（1+λ）x－λx0，（1+λ）y1=2p（λx+x）．

將前兩式代入最后一式，消去x2，y0并化簡，得λ（1+λ）y=4pλ（1+λ）x0x－2pλ（1+λ）x．

當λ=0時，A，B，Q，M，P五點重合，即P（x0，2px）． 而λ≠－1，故當λ≠0時，兩邊同除以λ（1+λ），得y=4px0x－2px（x≠x0）． 顯然P（x0，2px）也在y=4px0x－2px上，所以點P的軌跡方程為y=4px0x－2px． 易驗證這是拋物線在A處的切線方程．命題得證．

同理可證，拋物線的對稱軸為y軸時結論同樣成立． 特別地，取λ=1，AB垂直于對稱軸，可得到以下推論及其應用：

推論 經過拋物線上一點A垂直于對稱軸的直線與對稱軸相交于點Q，延長Q與頂點O的連線到P，使得PO=OQ，則P在點A處的切線上．

應用 經過拋物線上一點A的切線的作法：（1）若A為拋物線的頂點，則過A垂直于對稱軸的直線即為切線；（2）若A不是拋物線的頂點，則過A作AQ垂直于對稱軸，垂足為Q，以頂點O為圓心在QO的延長線上截取PO=OQ，連結PA，即為拋物線在點A處的切線．