例說分式型柯西不等式在求多元函數最值中的應用

摘 要：柯西不等式是一個重要的不等式，它有多種變形的形式，不同形式在解題中的作用不盡相同． 本文介紹其分式形式，并例說其在求多元函數最值中的基本應用．

關鍵詞：分式型柯西不等式；最值；應用

分式型柯西不等式：設ai∈R，bi>0（i=1，2，3，…，n），則++…+≥……（★），當且僅當ai=λbi時等號成立．

柯西不等式是高中數學中新引入的一個重要不等式，它的出現使得函數的最值問題又多了一條解決途徑． 但由于柯西不等式形式多樣，結構靈活，學生掌握起來普遍感到比較困難． 筆者在教學實踐中發現，相對其他形式的柯西不等式來說，分式型柯西不等式由于結構簡單，形式對稱，應用它求函數最值時配湊起來更簡潔、更自然，因此學生相對比較容易掌握． 下面分四種情形例說它在求多元函數最值時的基本應用，供參考．

一、若ai為常數，bi為變量，則當b1+b2+…+bn為定值時，++…+有最小值

例1 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求++的最小值．

解：因為++=++≥=，等號當且僅當==時成立，結合a+b+c=1，所以當a=b=c=時，++的最小值為．

變式1：已知a，b，c∈R+，且a+2b+3c=1，求++的最小值．

解：因為++=++≥=36，

所以當==，即a=b=c=時，++的最小值為36．

點評：此型因ai已為常數，故欲使 ++…+有最小值，須構造b1+b2+…+bn為定值． 例1中分母之和已為定值，故無須構造，直接利用（★）式即可獲解． 但變式1在給定條件下分母之和不是定值，因此需要進行配湊，方法是分子分母同乘以常數，即將++寫成++，使其分母之和變為定值，再利用（★）式，即可解決．

二、若a為常數，b為變量，則當++…+為定值時，b1+b2+…+bn有最小值

例2 已知a，b，c∈R+，且++=2，求a+2b+3c的最小值．

解：由2=++=++≥=，得a+2b+3c≥18，所以當==，即a=b=c=3時，a+2b+3c的最小值為18．

變式2：已知a，b，c∈R+，且++=1，求a+2b+3c的最小值．

解：由1=++=++≥，得（a+2b+3c）+8≥36，所以a+2b+3c的最小值為28（此時a=6，b=5，c=4）．

點評：此型ai仍為定值，欲使b1+b2+…+bn有最小值，須構造++…+為定值． 例2中++=2雖為定值，但其分母之和并非所求的a+2b+3c，為了迎合定值和（★）式結構的需要，須對++的分母進行配湊，即將++寫成++，然后利用（★）式加以解決． 變式2的解法與例2一樣，只是在定值的配湊上更加復雜．

三、若bi為常數，ai為變量，則當a1+a2+…+an為定值時，++…+有最小值

例3 已知實數a，b，c滿足a+b+2c=1，求a2+b2+2c2的最小值．

解：因為a2+b2+2c2=++≥=，所以當a=b=c=時，a2+b2+2c2有最小值為．

變式3：求實數x，y的值，使（y－1）2+（x+y－3）2+（2x+y－6）2達到最小值．

解：待定常數a，b，c，使a（y－1）+b（x+y－3）+c（2x+y－6）=（b+2c）x+（a+b+c）y－a－3b－6c為常數，由b+2c=0和a+b+c=0得b=－2c，a=c. 令c=1，則有（y－1）－2（x+y－3）+（2x+y－6）=－1，所以（y－1）2+（x+y－3）2+（2x+y－6）2=++≥，

所以當==，

即x=，y=時，（y－1）2+（x+y－3）2+（2x+y－6）2達到最小值．

點評：此型因bi已為定值，故欲使 ++…+有最小值，須構造a1+a2+…+an為定值． 故例3中須將a2+b2+2c2配湊成++，以迎合定值和（★）式結構的需要，再由（★）式加以解決． 變式3中由于題目沒有直接給出定值，故須使用待定系數法自己構造出定值，即待定常數a，b，c，使得a（y－1）+b（x+y－3）+c（2x+y－6）為定值與x，y的變化無關，再由（★）式加以解決．

四、若b為常數，a為變量，則當++…+為定值時，（a1+a2+…+an）2有最大值

例4 設x，y，z∈R，且滿足x2+y2+z2=5，求x+2y+3z的最大值與最小值．

解：因為5=x2+y2+z2=++≥，即（x+2y+3z）2≤70，

所以x+2y+3z的最大值為（此時x=，y=，z=），最小值為－（此時x=－，y= －，z=－）．

變式4：設x，y，z∈R，且滿足（x－1）2+（y+1）2+（z+3）2=25，求x+2y+2z的最大值與最小值．

解：由25=++≥=，得－15≤（x+2y+2z）+7≤15，故x+2y+2z的最大值為8（此時x=，y=，z=），最小值為－22（此時x=－，y=－，z=－）．

點評：此型bi仍為常數，故欲使（a1+a2+…+an）2有最大值，須構造++…+ 為定值． 例4中x2+y2+z2=5雖為定值，但其各式開方之和并非所求的x+2y+3z，故須把定值條件配湊成5=x2+y2+z2=++，使其運用（★）式后能與所求的x+2y+3z形成對接即可． 變式4的解法與例4一樣，只是在定值的配湊上更為復雜．

通過以上的例題及其變式可以看出，利用分式型柯西不等式求最值的基本思想有兩點：一是根據所求問題的結構特點，進行合理的變形與配湊（其目的是使由（★）式放縮后的不等式的一邊為定值）；二是將所求問題與（★）式形成對接，使其能使用（★）式進行放縮．其中合理的配湊是解題成功的關鍵．當然，最后能否取到最值，仍須考慮等號成立的條件是否滿足．需要指出的是，本文所舉的例子及變式是分式型柯西不等式的最值應用中最簡單、最基本的應用，而在有些問題中，則需要利用（★）式進行多次的放縮，或者再結合其他的知識方能解決，限于篇幅，本文不再贅述．

演練身手

⑴①已知a，b，c>0，且a+2b+c=1，則++的最小值是________．

②設α，β均為銳角，則+的最小值是________．

⑵①已知a，b，c，x，y，z∈R_，且++=1，則x+y+z的最小值是_______．

②已知a，b，c∈R+，且++=1，則a+2b+c的最小值________．

（3）①已知x+y+z=2，則m=x2+2y2+z2的最小值是_______．

②已知x，y，z∈R，且2x+2y+z+8=0，則（x－1）2+（y+2）2+（z－3）2的最小值是________．

（4）①已知a，b，c∈R+，且a+2b+3c=9，則++的最大值是________．

②若不等式+≤k對任意正實數x，y成立，則k的最小值是________?搖．

附參考答案：

（1）①6+4，②9；（2）①（++）2，②16；（3）①8，②9；（4）①，②．