一個優美不等式的注記

摘 要：本文討論了一個優美的不等式，并給出了它的一種推廣．

關鍵詞：不等式；凸性；凸函數

在《一個等周問題的探討》一文中，作者討論了一個優美的不等式：即若0<α<β<，則<<．特別在《一個優美不等式的直觀證明》一文中，作者利用數形結合給出了一種幾何證明．筆者通過深入研究，探討了此不等式的內涵，發現作者的證明是基于正弦函數的凹性和正切函數的凸性，由此推廣了不等式成立的范圍．

命題：設f（x）為a<α<β

證明：在f（x）的圖象上取兩點A（α，f（α）），B（β，f（β）），則OA，OB的斜率分別為kOA=，kOB=，然后利用f（x）的凹性，可知kOA>kOB，即為<；同理可證不等式右邊．

即證．

容易驗證f（x）=sinx為凹函數，g（x）=tanx為凸函數，利用命題即可得到前面的優美不等式．另外，類比可以得到下面很漂亮的推論．

推論：設0<α<β<+∞，則有<<，其中sinhx=為雙曲正弦函數，tanhx=為雙曲正切函數．

證明：利用命題只需證明sinhx為凸函數，tanhx為凹函數即可，僅證第一步，由于當x>0時，（sinhx）″=sinhx>0，所以sinhx為凸函數，即證．