向量法在解析幾何問題中的應用

摘 要：向量具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，使它成為中學數學知識的一個交匯點和聯系多項內容的媒介. 向量的引入大大拓寬了數學解題的思路與方法，使它能夠廣泛地應用于研究許多問題.本文主要討論利用平面向量這個工具，簡捷、快速地處理解析幾何中的許多問題，諸如角度、距離等.

關鍵詞：向量；解析幾何；解題研究

向量融數、形于一體，是溝通數與形的重要橋梁，因而它可以作為聯系代數與幾何的紐帶，成為討論數形結合的有力工具.通過向量的坐標可以把解析幾何的很多問題數量化，從而將推理轉化成運算，可以起到避免討論、化繁為簡、降低難度等效果.向量坐標的代數運算，開辟了幾何代數化的新路，成為解決解析幾何問題的一把利劍.

例1 已知橢圓+=1的焦點為F1，F2，點P為橢圓上的一動點，當∠F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標的取值范圍.

分析：解析幾何中角的問題經常會采用余弦定理或直線斜率的方法來解決，但由于余弦定理涉及線段的長，直線斜率又涉及存在性等問題，因而往往解決繁瑣，現在利用向量夾角的取值范圍來處理解析幾何中角的問題，將會減少計算量，提高解題速度.

解：橢圓的焦點F1（－，0），F2（，0），設P（3cosα，2sinα），由向量的夾角公式可知cos∠F1PF2=，當∠F1PF2為鈍角時，#8226;=9cos2α－5+4sin2α=5cos2α－1<0，解得－

從以上看出，運用向量的運算法則來求解，思路清晰，簡潔明快，充分展現了向量的數量積公式變形解題的獨特功能，成為超越傳統方法的有效工具. 有些問題用常規方法解決往往運算比較繁雜，不妨借助向量這個特殊的工具來拓展思路，減輕負擔.

例2 已知圓O：x2+y2=8，點A（2，0），動點M在圓O上，求∠OMA的最大值.

分析：本題若利用直線OM，MA的斜率來求解，則得對斜率存在與不存在進行分類討論. 事實上，當∠OMA=時，直線MA的斜率就不存在.采用向量法可以避開分類討論的麻煩，思路巧妙，過程簡明，優越性明顯.

解：設M（x0，y0），則x+y=8，且=（－x0，－y0），=（2－x0，－y0）. 故

cos∠OMA====+≥.

因為∠OMA∈0，，所以當且僅當=，即x0=2時，∠OMA取得最大值.

以上可見，應用向量來解決某些解析幾何問題，可以起到避免討論、化繁為簡、降低難度等效果，顯示了其作為工具的強大作用.

例3 已知A（2，0），直線l：x=－1，B是直線l上的點，∠AOB的角平分線交AB于C點，求C點的軌跡.

分析：本題如果用解析幾何常規方法求解，其過程曲折冗長，運算復雜.由于涉及以向量知識為載體的軌跡問題，故首先考慮向量坐標，可達到化繁為簡的目的.

解：設C（x，y），B（－1，p），則=（x，y），=（－1，p），=（2，0）.

因為cos∠BOC=cos∠AOC，所以=，化簡得p（y2－x2）=2xy. 又=（－3，p），=（x－2，y），由∥得－3y=p（x－2），從而得x2－3y2+4x=0，即－=1，C點的軌跡是中心在（－2，0）的雙曲線右支.

解析幾何中對角平分線的處理一般比較煩瑣，但此題用向量法解決，其思路清晰，操作只需機械進行，體現出向量法的優勢.

例4 如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線C的頂點在原點，經過點A（2，2），其焦點F在x軸上，設過點M（m，0）（m>0）的直線交拋物線C于D，E兩點，ME=2DM，記D和E兩點間的距離為f（m），求f（m）關于m的表達式.

分析：本題用常規解法計算較為煩瑣，注意到ME=2DM，可轉化=2，用向量的坐標進行運算，不僅計算量減少，且過程也比較簡潔、流暢.

解：易求拋物線C的標準方程是y2=2x. 設D，s，E，t，由點M（m，0）及=2得t2－m=2m-，t－0=2（0－s），因此t=－2s，m=s2，所以f（m）=DE==（m>0）.

轉化就是“由一種形式轉換成另一種形式”，數學解題過程的實質就是從已知到未知的轉換過程，正如美籍匈牙利著名數學家玻利亞所說：“解數學題的關鍵在于轉化”. 解析幾何中，應用向量方法解題充分滲透著轉化思想，例如證明∠BAC為直角，只要轉化證明#8226;=0；證明點B在以MN為直徑的圓內，只要證明∠MBN為鈍角，從而轉化為證明#8226;<0；證明A，O，C三點共線，實際上是轉化證明∥； PA#8226;PB=2，且P，A，B三點共線，可轉化為等式#8226;=±2等等. 這種轉化思想質樸無華，學生非常容易理解和接受.

解析幾何是一門典型的數與形結合的學科，在高中數學體系中，占有很重要的地位，向量的引入無疑給中學數學帶來無限生機. 向量方法展現了代數化法的獨特視角，實現了數與形的相互轉化，拓寬了學生解題的思維和視野，為解決解析問題開辟了一條嶄新的途徑，是解決解析幾何問題的有力武器.