巧用規(guī)劃思想解決:求二元函數(shù)的最值問題

摘 要：規(guī)劃思想是數(shù)形結(jié)合思想中一種典型、高效的解題方法，在教學(xué)中常常被忽視，只在學(xué)習(xí)線性規(guī)劃這節(jié)內(nèi)容時才運用，學(xué)生在平常解題的過程中也是常常忽略這種方法. 但是筆者發(fā)現(xiàn)在解決求“二元函數(shù)的最值”問題時，利用規(guī)劃的思想是很有效和簡潔的，本文對此做了相應(yīng)的闡述，以期引起重視.

關(guān)鍵詞：規(guī)劃思想；數(shù)形結(jié)合；線性規(guī)劃；二元函數(shù)；最值問題

筆者在進(jìn)行解析幾何教學(xué)時碰到這樣一道題目：

例1 有一個居民小區(qū)的噴水池的形狀是菱形，邊長為5，一條對角線長度不小于6，另一條對角線長度不大于6，求兩條對角線的長度之和的最大值.

解法1：將求兩條線段長度之和轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問題.

圖1

如圖1建立坐標(biāo)系，

設(shè)OD=x，則AO=，由題得0≤x≤3，≥3，

即0≤x≤3，x≤4， 得0≤x≤3，S=2x+2，下求Smax.

S2=4x2+100－4x2+8x=100+8，0≤x2≤9

當(dāng)x2=9時，即x=3時，S2取最值，此時S=196，即Smax=14.

解法2：若將對角線分別用兩個變量a，b表示，則兩對角線長之和為S=a+b，原題就轉(zhuǎn)化為：

在條件0≤a≤6，b≥6，a2+b2=100 下求S=a+b的最大值問題，是個簡單的規(guī)劃問題.

如圖2所示（黑色部分）為可行域，S為直線b=－a+S的縱截距，易得直線過（6，8）時，S取得最大值14.

圖2

總結(jié)：將該題轉(zhuǎn)化為規(guī)劃問題進(jìn)行解答，優(yōu)點是非常明顯的，將一個較為復(fù)雜的二次函數(shù)求最值問題較為直觀的利用圖象呈現(xiàn)出來，利用規(guī)劃的知識使得問題得以輕松解決.

筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)中規(guī)劃思想不僅能解決線性規(guī)劃問題，而且是一種非常典型和有效的數(shù)形結(jié)合思想. 若函數(shù)含有兩個變量，且題中對變量有一定的限定，則在求這樣的函數(shù)最值時，我們發(fā)現(xiàn)利用規(guī)劃思想往往能更加直觀、便捷、有效.

例2 如果實數(shù)x，y滿足等式（x－2）2+（y－1）2=1，求x2+y2的范圍.

分析：此題解法較多，如果令S=x2+y2，則將S作為目標(biāo)函數(shù)，可以利用規(guī)劃的思想很容易地解決該題.

解：令S=x2+y2，則S為目標(biāo)函數(shù)，可行域為圓周（x－2）2+（y－1）2=1，以（0，0）為圓心的圓周半徑為，

易得圓周的變化范圍是從兩圓外切到兩圓的內(nèi)切（即從1位置到2位置的變化過程，如圖3所示）. 由圓的位置關(guān)系知識可得，6－2≤S≤6+2.

圖3

總結(jié)：在整個解題過程中體現(xiàn)了規(guī)劃思想非常強(qiáng)的直觀性和有效性.

很多的題目中往往沒有明顯給出規(guī)劃問題的特征（如兩個變量、對變量的相應(yīng)限定等），但是筆者發(fā)現(xiàn)只要是通過一定的轉(zhuǎn)化，能使題變成求含兩個變量的函數(shù)最值問題，都可以利用規(guī)劃思想嘗試著解決.

例3 設(shè)等差數(shù)列｛ａn｝的前n項和為Sn，S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為__________.

分析：在該題中S4=4a1+×d，S5=5a1+×d，則由S4≥10，S5≤15，

得2a1+3d≥5，a1+2d≤3， ①而a4=a1+3d，則該題為典型的規(guī)劃問題.

解：建立直角坐標(biāo)系anOd，由不等式組①確定可行域，求目標(biāo)函數(shù)a4=a1+3d的最值問題，由圖4知，當(dāng)直線a4=a1+3d過可行域內(nèi)（1，1）點時截距最大，此時目標(biāo)函數(shù)取最大值a4=4.

圖4

總結(jié)：利用規(guī)劃的思想解決數(shù)列的問題是我們在平常教學(xué)中應(yīng)用比較少的，但從這道題的解答過程來看利用規(guī)劃思想求解是如此的有效和快捷，再一次說明在解決二元函數(shù)最值問題中規(guī)劃思想的有效性. 以下兩個例題同樣印證了這點.

例4 如果x<，那么求f（x）=cos2x+sinx的取值范圍.

該題除了常規(guī)的解法以外（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)），同樣可以用規(guī)劃的思想進(jìn)行解答.

圖5

略解：令cosx=a，sinx=b，則由題得

≤a≤1，－≤b≤，a2+b2=1，

下求S=a2+b的取值范圍.

如圖建立坐標(biāo)系aOb，得到可行域為劣弧，目標(biāo)函數(shù)S滿足b=－a2+S，則S為拋物線b=－a2與可行域有公共點時的縱截距范圍，易得當(dāng)拋物線過點，－時，S取得最小值，拋物線向上移動時S逐漸增大，直到拋物線和圓弧只有一個公共點時S取得最大值，此時拋物線過點，，從而得到S的取值范圍.

例5 函數(shù)f（x）為定義在R上的減函數(shù)，圖象關(guān)于原點中心對稱，若s，t滿足f（s2－2s）≤－f（2t－t2），則當(dāng)1≤s≤4時，求的取值范圍.

解：由題意得s，t滿足s2－2s≥－2t+t2，1≤s≤4， ①令z=，則求z的取值范圍.由不等式組① 可得（s-t）（s+t-2）≥0，1≤s≤4，

即s+t－2≥0，s－t≥0，1≤s≤4， 或s+t－2≤0，s－t≤0，1≤s≤4，

建立坐標(biāo)系sOt，可行域如圖6所示，t=zs，即z為直線t=zs與可行域有公共點時的斜率范圍，易得－≤z≤1.

圖6

綜上，筆者認(rèn)為規(guī)劃的思想是一種典型而有效的數(shù)形結(jié)合思想，通過這種思想能很好地利用題目的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)代數(shù)到幾何的轉(zhuǎn)換，利用幾何直觀使數(shù)量關(guān)系得到精確的刻畫，使得問題化難為易，化繁為簡. 特別是在解決含有二元函數(shù)的最值和取值范圍時，優(yōu)勢尤為明顯.在使用的過程中一定要理解規(guī)劃思想的內(nèi)涵，才能做到對問題的合理轉(zhuǎn)換和對知識點的正確應(yīng)用. 近年來高考中二元函數(shù)的求范圍和最值問題逐漸成為熱點，教會學(xué)生通過題目的表象看到隱含的條件并靈活運用規(guī)劃的思想進(jìn)行解答是不錯的選擇，所以在平時的教學(xué)中要引起高度的重視.