在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識

摘 要：在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，本文通過探求數(shù)學(xué)問題的簡潔解法，對如何培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識進行了一些探索．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；培養(yǎng)學(xué)生；求簡意識

在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)方法不當(dāng)而造成解題煩瑣，究其原因，主要是缺乏與解題信息相關(guān)的眾多數(shù)學(xué)能力和意識． 因此，如何減少這種煩瑣的解題過程，培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識，是數(shù)學(xué)解題教學(xué)中一個十分重要的問題． 求簡意識孕育在平時潛移默化的教學(xué)之中，學(xué)生養(yǎng)成了求簡意識，就能自覺地去分析題目中的條件和特征，捕捉題目中的重要信息，多角度、多層次地去探索解題思路，簡化解題過程．

深刻領(lǐng)會概念，形成求簡意識

求簡意識經(jīng)常是建立在對概念深刻理解的基礎(chǔ)上的，只有深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，才能靈活運用它來簡化解題過程，形成求簡意識．

例1 試在橢圓+=1上求一點M，使它到左焦點F1的距離是它到右焦點F2距離的兩倍．

分析：求解此題的一般思路是，先設(shè)M（x，y），再利用MF1=2MF2及MF1+MF2=10列出方程組

=2，+=10，

然后，解方程組，求得M點的坐標(biāo)．這個解法雖然思路自然，但是運算很繁．如果我們對橢圓的定義有深刻的理解，就會自覺地利用定義來探求簡潔解法．

解：設(shè)M（x，y），由條件得MF2=. 又e=，右準(zhǔn)線為x=，所以－x=#8226;，解得x=，從而求得M，±．

使用逆向思維，培養(yǎng)求簡意識

有些數(shù)學(xué)問題正面求解比較困難，即使絞盡腦汁也難以奏效，這時教師若能引導(dǎo)學(xué)生使用逆向思維，反其道而求之，則往往可使問題迎刃而解．這有助于培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識．

例2 求x－15的展開式中各項的所有有理數(shù)系數(shù)的和．

分析：此題若正面求解，須用二項式定理展開后計算求和，則不勝其煩；如果逆向思考，不展開二項式，以x=y=1代入求得二項展開式各項系數(shù)和，從中提出有理部分即得所求之值．

解：在原式中令x=y=1，得原式的展開式中各項系數(shù)和為－15=15=，這是一個無理數(shù)，故知展開式中所有的有理數(shù)系數(shù)的和是零．

力求整體處理，增強求簡意識

從整體入手處理問題是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法． 有些數(shù)學(xué)問題，從表面上看需要局部求出各有關(guān)量，但實質(zhì)上若從整體上去把握，處理這些量之間的關(guān)系，則思路更簡潔，解法更巧妙．

例3 過P（3，4）的直線切圓O：x2+y2=1于點A和B，求經(jīng)過點A和B的直線l的方程．

分析：此題若按常規(guī)思路，先求出A，B兩點的坐標(biāo)，再求出直線方程，則運算煩瑣．這時教師若能引導(dǎo)學(xué)生設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），而不急于去求A，B的坐標(biāo)，再充分考慮題中條件的內(nèi)在聯(lián)系，則可使問題求解簡潔巧妙．

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則切線PA，PB的方程分別為x1x+y1y=1，x2x+y2y=1．

由于PA，PB都過點P（3，4），所以有3x1+4y1=1，3x2+4y2=1. 又因為兩點確定一條直線，故所求直線l的方程為3x+4y=1．

以上運用了“設(shè)而不求”的整體思考方法，使問題求解簡潔巧妙，體現(xiàn)了思維的靈活性，顯示了增強求簡意識的必要性．

善于等價轉(zhuǎn)化，鞏固求簡意識

等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題中的一種重要策略，它用運動、變化、聯(lián)系、發(fā)展的觀點來看待問題，把問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的或者容易解決的新問題，以達到化繁為簡、化難為易的目的． 因此，在解題中，善于等價轉(zhuǎn)化，有助于鞏固求簡意識．

例4 已知關(guān)于x的方程sin2x+acosx－2a=0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

分析：此題的常規(guī)思路是，將方程化為cos2x－acosx+2a－1=0，令cosx=t，則問題化為f（t）=t2－at+2a－1=0在t∈［-1，1］上有實數(shù)解，再分類討論得出a的取值范圍，過程煩瑣，且易漏解． 這時教師若能善于引導(dǎo)學(xué)生運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法，先將參數(shù)a分離，得a=，再將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）=的值域，則問題求解簡潔．

解：由原方程將參數(shù)a分離，可得a=． 因為==－（2－cosx）++4≤－2+4，又因為≥0，所以a∈［0，4－2］．

借助數(shù)形結(jié)合，發(fā)展求簡意識

數(shù)與形這兩個基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石． 數(shù)形結(jié)合雖不能保證數(shù)學(xué)問題總能得到解決，但它保證在大多數(shù)情況下能夠使數(shù)學(xué)問題得到較好的解決，而不需要花大量的運算時間，尤其是在許多復(fù)雜情況中能起到良好的直觀作用，給解題帶來意料不到的簡便． 因此，在解題中，借助數(shù)形結(jié)合，有助于發(fā)展求簡意識．

例5 正數(shù)a，b，c，x，y，z滿足條件a+x=b+y=c+z=k，求證：cx+ay+bz

分析：本題的證明難度較大，用代數(shù)方法無從下手．

若能借助數(shù)形結(jié)合，揭示條件a+x=b+y=c+z=k的幾何背景：三數(shù)相等的幾何圖形是等邊三角形，則可得如下簡潔證法．

證明：如圖1，作邊長為k的正三角形PQR，分別在各邊上取點D，E，F(xiàn)，使得QD=x，DR=a，RE=y，EP=b，PF=z，F(xiàn)Q=c，

則S△FQD+S△EDR+S△PFE

即cx+ay+bz

所以cx+ay+bz

綜上可見，在解題教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識，不僅有助于提高學(xué)生的解題能力，而且對提高學(xué)生的創(chuàng)新能力也大有裨益．