“分離法”解題記

摘 要：分離參數法是求參數取值范圍的一種常用方法． 本文通過“分離法”解2011年高考題時所歷經的一喜一驚，反思數學教學中要致力于克服思維定式的消極作用，發揮思維定式的積極作用．

關鍵詞：分離法；思維定勢；反思

分離參數法是求參數取值范圍的一種常用方法． 通過分離參數，用函數的觀點討論主變量的變化情況，由此確定參數的取值范圍，這種方法在解決有關不等式恒成立、不等式有解、函數有零點、函數單調性等問題中參數的取值范圍時經常用到．筆者近日研究2011高考試題時，使用“分離法”解題歷經一喜一驚，愿與同仁共勉．

“一喜”偏愛有加

解2011高考浙江卷理22后對“分離法”偏愛有加．

試題：設函數f（x）＝（x－a）2lnx，a∈R．

（1）若x＝e為y=f（x）的極值點，求實數a；

（2）求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立．

注：e為自然對數的底數．

解題前，有青年教師認為該參考答案給人一種“云里霧里”的感覺．如何讓想法來得自然些，思路清晰些？經過思考討論，柳暗花明，發現“分離法”解該題很有效（其他解法略）．

第2問：注意到x∈（0，1］時，恒有f（x）≤4e2，以下研究x∈（1，3e］的情形．

當x∈（1，3e］時，由f（x）≤4e2，

得－≤a－x≤，即x－≤a≤x+，

一方面，函數y=x－在（1，3e］上單調遞增，故a≥3e－；

另一方面，函數g（x）=x+，g′（x）=，g′（e）=0，

且當10，故g（x）min=g（e）=3e，故a≤3e．

所以實數a的取值范圍是3e－≤a≤3e．

上面的解法方向明確，過程易控，思路清晰． 解題后，一位同事感嘆地說，含參問題應優先考慮用分離參數法．

“一驚”刷新認識

1. 試題

已知函數f（x）=+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y－3=0．

（1）求a，b的值；

（2）如果當x>0，且x≠1時，f（x）>+，求k的取值范圍． （2011高考全國課標卷理21）

2． 解法回顧

關于問題2，河南童老師和陜西邱老師提供了“分離參數法”的解法，摘錄如下（中學數學教學參考2011年第七期（上旬）第41頁）：

“由（1）f（x）=+，由f（x）>+，得k<1－，對x>0，x≠1恒成立．

令g（x）=2xlnx－x2+1，則g′（x）=2lnx+2－2x，g″（x）=－2<0.

若x>1，則g″（x）<0，可知g′（x）遞減，可得g′（x）0；

若00，可知g′（x）遞增，可得g′（x）g（1）=0，則<1，1－>0．

綜上所述，k<1－，對x>0，且x≠1恒成立，只需要k∈（－∞，0］即可．”

3． 反例與點評

筆者也曾有類似的想法，但總覺得難以令人信服，嘗試著舉出反例．

題目：已知m<1－，對x>0，且x≠1恒成立，求m的取值范圍．

仿照上面解題的方法步驟，這樣解：

“令g（x）=xlnx－x2+1，則g′（x）=lnx+1－2x，g″（x）=－2=，

g″=0，當x>0時，g′（x）≤g′= －ln2<0，

若x>1，則g′（x）<0，可知g（x）遞減，有g（x）0；

若0g（1）=0，則<1，1－>0．

綜上所述，m<1－，對x>0，且x≠1恒成立，只需要m∈（－∞，0］即可．”

但這個結論是錯誤的，“m∈（－∞，0］”是“m<1－，對x>0，且x≠1恒成立”的充分條件，而非必要條件，因而也就不是充要條件．

?搖正確解法：令g（x）=1－（x>0，且x≠1）.

由洛比達法則可得g（x）=1－=1－=1－=.

又g′（x）=lnx－1+，

令h（x）=lnx－1+（x>0），則h′（x）=－=.

若x>1，則h′（x）>0，h（x）為增函數，h（x）>h（1）=0，故g′（x）>0，g（x）為增函數，所以g（x）>=，故此時有m≤；

若00，h（x）為增函數，h（x）=，故此時有m≤．

綜上可知，若m<1－，對x>0，且x≠1恒成立，則m的取值范圍是（－∞，］．

對這道高考試題，從數學的角度看，將參數k分離出來，通過函數方法解參數問題，仍然是有效的；從學生的角度看，僅就高中生所學的數學知識和方法，解決起來困難大多了． 對于含參數的問題，分離參數往往是有效的，但在某些情況下對學生來說有局限性．

4． 題眼分析：

題眼包含兩個方面：一是解決問題的突破口，二是解題者的眼光．

（2）由（1）知f（x）=+，故f（x）－+=2lnx+．

考慮函數h（x）=2lnx+（x>0），則h′（x）=．

設k≤0，由h′（x）=知，當x≠1時，h′（x）<0，而h（1）=0，

當x∈（0，1）時，h（x）>0，得#8226;h（x）>0；當x∈（1，+∞）時，h（x）<0，可得h（x）>0，

從而當x>0，且x≠1時， f（x）－+>0，即f（x）>+.

設00，故h′（x）>0，而h（1）=0，故當x∈1，時，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設矛盾．

當k≥1時，h′（x）>0，而h（1）=0，當x∈（1，+∞）時，h（x）>0，得h（x）<0，與題設矛盾．

綜上可得，k的取值范圍為（-∞，0］．

點評：該解法關鍵在于對式子（k－1）（x2+1）+2x有較好的直覺，k=0時該式為－（x－1）2，為分類討論奠定了基礎，這是本題的題眼所在．

啟示與思考

透過這“一喜一驚”，筆者對數學解題教學刷新了認識，要重視思維定式的影響． 定式（即心向）是指重復先前的操作所引起的一種心理準備狀態，它影響解決問題時的傾向性． 定式使人們會以某種習慣的方式對刺激情境作出反應，在解決問題時具有一種傾向習性，并影響問題是否順利解決． 思維定式的作用是：根據面臨的問題聯想起已經解決的類似的問題，將新問題的特征與舊問題的特征進行比較，抓住新舊問題的共同特征，將已有的知識和經驗與當前問題情境建立聯系，利用處理過類似的舊問題的知識和經驗處理新問題，或把新問題轉化成一個已解決的熟悉問題，從而為新問題的解決做好積極的心理準備． 思維定式對于問題解決具有極其重要的意義，可以促進問題的解決，但有時又是消極的，它容易使我們產生思想上的惰性，養成一種呆板、機械、千篇一律的解題習慣，它使問題解決的思維活動變得呆板，使解題步入誤區． 因此，數學教學中，一方面要發揮思維定式的積極作用，通過學生在問題解決活動中成功的體驗強化已形成的規律性的認識；另一方面要注意克服思維定式對問題解決消極的一面，通過適當的案例，引導思維定式伴隨著我們的學習和實踐而變化、發展，在否定中前行． 教學中要積極滲透數學思想方法，解題教學應力求自然、合理，最為關鍵的是提高學生邏輯推理能力、分析問題和解決問題的能力．