在探究細節中發展學生思維

摘 要：數學教學從某種程度上來說就是思維教學，作為數學教師，要善于把握探究性課堂教學中的每一個細節，促進學生的思維發展. 探究教學細節很多，文中就探究引入趣味化、探究概念例證化、探究例題多變化、探究難度層次化、探究方法靈活化等五個方面展開，論述發展學生的思維的一些做法.

關鍵詞：探究細節；思維；發展

《普通高中數學課程標準（實驗）》的課程基本理念是“倡導積極主動、勇于探索的學習方式.” 在課程目標中進一步強調數學教學要使學生“通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學發現和創造的歷程.” “為學生的發展而教”已成為當今課堂教學的基本理念，學習的態度、習慣、情感、能力等已經與知識、技能具有同等重要的地位，讓學生自主探究、學會學習已經成為教學改革的核心.作為一名數學教師，就要善于把握課堂的每一個探究細節，促進學生思維品質的充分、健康、全面發展，為他們的后繼學習奠定基礎.

■探究引入趣味化，激起思維積極性

“興趣是最好的老師.” 感興趣的事物能讓學生忘乎所以、樂此不疲. 有趣的數學課堂，使學生舒心、安心，積極踴躍的發表所見所聞、所感所悟，樂于把自己的理解與感悟和他人共享. 數學學習既重結果，更重過程，用趣味性來調動學生的積極性，激起學生的探究熱情，親身經歷和體驗知識的形成過程，動腦去想、動口去說、動眼去看、動手去做……

學生在數學學習中無暇他顧，集中精力探究創新，知識的奧秘得以揭曉，個人能力、素質得以提升，眼睛越來越亮，笑容越來越燦爛.

案例1 筆者在“等比數列的前n項和”這一節教學時，探究等比數列前n項和公式時，采用趣味故事引入：在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求. 西薩說：請在棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚．為什么呢？引導學生寫出麥粒總數1+2+22+23+·…+263. 學生動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和. 這時給時間讓他們去算，讓他們親身體驗計算的艱辛.接著筆者對他們的這種思路給予肯定，并引出“錯位相減法”.

反思 要激發學生的學習興趣，就必須設計好探究的引入，讓每個學生都有機會參與，都能參與，并且要能真切地感受數學學習活動的魅力. 通過一些簡潔而又富有趣味的活動，讓學生積極參與，主動探究，在足夠的時間和空間里互動交流，體會到“數學在使人賞心悅目和提供審美價值等方面，至少可與其他任何一門學科相媲美”. 本案例通過趣味故事引入，故事內容緊扣本節課的主題與重點. 在實際教學中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖于學生的認知規律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而是相減呢？在整個教學關鍵處，學生難以轉過彎來，因而在教學中應舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學生學習的障礙． 同時，形成繁難的情境激起了學生的求知欲，迫使學生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學埋下伏筆.

■探究概念例證化，培養思維抽象性

概念教學是中學數學教學的重要內容. 在引入新概念時，要把相關的舊概念聯系起來，大膽地放手讓學生把某種情境用數學方法加以表征；在形成概念時，要留給學生充足的思維空間，要善于多角度、全方位地提出有價值的問題，讓學生思考，提倡學生自主地建構新概念；在辨識概念時，要多鼓勵學生質疑. 從學生的角度看，學貴有疑是學習進步的標志，也是創新的開始.概念是同類事物的共同本質特征的反映，它是高度抽象的. 為了更好地使學生理解概念、掌握概念，筆者采取用具體的例證幫助學生形成概念，從而使學生學會從具體到抽象的思維提升.

案例2 集合的概念

在集合概念的教學中，筆者抓住集合中元素的確定性、互異性和無序性等內涵，舉出豐富的實例讓學生對一定數量現象分析比較，抓住事物的屬性，歸納出抽象的集合概念，使學生容易把握集合概念的內涵，容易形成集合概念.在空集概念教學時，為幫助學生建立空集的定義，舉例A=｛xx2+1=0，x∈R｝，B=｛xx2=0，x∈R｝并予以比較，讓學生比較容易接受并加深對空集概念的理解；為幫助學生對集合元素的互異性的理解，舉例集合A=｛1，x｝，求x的取值范圍，等等.

反思 一些重要數學概念的認識，學生可能不是通過一次抽象概括就能形成的，而要通過多次的提煉、抽象、概括才能形成.學生對集合概念的內涵與外延的認識活動便是如此.

■探究例題多變化，訓練思維靈活性

例題在課堂教學中具有導向性、典型性和示范性，因此教師在教學中要充分利用好例題，發揮它的最大功能，通過對例題的變式、引申、拓展等方式，培養學生思維的靈活性.

案例3 普通高中課程標準實驗教科書（蘇教版）《數學》必修3中“幾何概型”中例題3，在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率.

在教學時，筆者在講完本例題之后，通過變式串教學，有利于培養學生思維的靈活性.

變式1：條件不變，求使△ACM為鈍角三角形的概率.

變式2：條件不變，求使△ACM為直角三角形的概率.

變式3：把“在斜邊AB上任取一點M”改為“過頂點C任作一射線l與斜邊AB交一點M”，求AM小于AC的概率.

變式4：在等腰直角三角形ABC中，若點M在△ABC內，求使△ACM為鈍角三角形的概率？

反思 對典型例題通過類比、引申、拓展延伸，提出新的問題，讓學生深切體驗到“新”知識的產生過程，體會數學學科嚴謹、求實、繼承、創新的理性思維特征，在層出不窮的新知識、新問題、新體驗中得到動力，同時也深深感受到探究的樂趣，發現問題、探究問題的能力得到訓練.

■探究難度層次化，滿足思維層次性

由于每個學生的數學基礎不盡相同，其思維方式也各有特點，因此不同的學生對于同一數學問題的認識、感受也不會完全相同，從而導致學生對數學知識理解的偏頗. 《基礎教育課程改革綱要（試行）》明確指出“在教學過程中，教師應尊重學生的人格，關注個體差異，滿足不同學生的學習需要，創設能引導學生主動參與的教育環境，激發學生的學習積極性，培養學生掌握和運用知識的態度和能力，使每個學生都能得到充分的發展.” 因此，教師必須將學生看成是有個性的學習者，承認差異、尊重差異、善待差異，使每一位學生都能得到充分的發展.

案例4 直線與拋物線的位置關系

筆者在講解這樣一道例題：“直線y=x－2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB.” 這是一個基礎性的命題，涉及解決直線與曲線問題的基本知識、基本方法、基本數學思想. 筆者事先將班級的學生分成三個不同層次A（好）、B（中）、C（差），根據不同的目標制定有針對性的命題.

對于C層次學生，在教師引導下能夠解決問題，掌握其中的方法技巧，這是基本要求.

對于B層次學生，在掌握這些基本要求的基礎上，還應該把握其一般規律，于是筆者設計命題：已知拋物線y2=2px（p>0），過點（2p，0）的直線與拋物線交于A，B兩點. 求證：OA⊥OB.

對于A層次學生，為了把握本題的內部聯系及規律，培養思維的靈活性及變通性，發展思維的深刻性，培養數學能力，筆者又設計命題：已知拋物線y2=2px（p>0），過點（2p，0）的直線與拋物線交于A，B兩點，問△AOB的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

反思 通過以上三個層次的問題設計，讓學生從不同角度去審視問題，揭示其內部聯系及規律，以求得認識更全面、更深刻，滿足不同層次學生的需要，從而實現教學目標的最大化.

■探究方法靈活化，培養思維創造性

組織探究活動，除了選用恰當的探究形式外，還應根據教學內容的不同特點，選擇合理的探究方法，同時使學生熟悉并掌握這些科學的探究方法.筆者認為在教學實踐中，經常讓學生用下列方法進行探究，有利于培養學生思維的創造性.

（1）操作——發現，即讓學生通過自己動手操作，發現規律，得出結論.

（2）猜想——驗證，即讓學生根據已有的知識、經驗和方法，對數學問題大膽猜想，尋找規律，合理論證，這是創造性思維活動的重要途徑.

（3）觀察——歸納， 即讓學生通過大量具體事例，歸納發現事物的一般規律. 中學數學的有些公式、法則等大都是通過具體實例歸納推導出來的. 問題的歸納過程，事實上就是觀察、思考、發現的過程，也是從中總結規律的過程. 在歸納探究過程中，培養學生對問題的抽象概括能力.

（4）類比——聯想，即讓學生通過類比的思維方法以及聯想的思維方法，溝通新舊知識的聯系，發現數學原理、方法、結論. 雖然類比推出的結論必須經過驗證，但類比、聯想在培養學生豐富的想象力和知識遷移能力方面有著不可替代的作用.

（5）引導——探索，即在強調學生自主學習，關注學生個體發展的同時強調教師在教學中以導促學，以情激趣，以疑引思，多方調控，要充分發揮教師個人的特質和潛能. 學生在自主參與、情感體驗、思維升華的過程中達到學會學習、學會操作、學會探究、學會創新，從而形成師生平等互動、靈活開放的雙方不可或缺的教學模式.

“冰凍三尺，非一日之寒”，發展學生的思維，培養學生的探究能力，是一個長期的過程. 如果在課堂上我們能夠把握探究的細節，以“發展學生的思維品質”來指導學生開展探究活動，相信數學的課堂必將煥發出生命的活力，為學生的終身學習奠下堅實的基礎.