從一節課的教學設計談創新能力的培養

摘 要：在新課程標準下，學生的數學學習不只限于接受、記憶、模仿和練習. 本文通過對《余弦定理》的教學設計，討論如何使教學過程成為學生的再創造過程，達到培養學生創新能力的目的.

關鍵詞：自主探索；合作交流；創新意識

普通高中數學課程標準中明確指出，學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式． 這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程．在“接受、記憶、模仿和練習”這樣的學習方式下，學生處于被動地位，大多是機械學會一些知識與技能，不可能有新的發現，更談不上培養創新能力． 而“自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學”這種學習方式要求教師對教材進行合理設計，使學生的學習過程相當于進行一次科學研究的過程：發現問題、研究問題、解決問題、總結提高. 經常以這樣的方式學習，能激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中養成獨立思考、積極探索的習慣，從體驗數學發現和創造的歷程中發展他們的創新意識． 下面從《余弦定理》的教學設計說明如何使教學過程成為學生的再創造過程．

創設情境，發現問題

教師：如圖1，分別以直角△ABC的三邊AB，BC，CA為邊向三角形外作三個正方形ABDE，BCFG，CAHK，那么正方形ABDE的面積SABDE與兩個正方形BCFG，CAHK的面積之和SBCFG＋SCAHK有怎樣的大小關系？

學生：根據勾股定理a2＋b2＝c2得，SABDE＝SBCFG＋SCAHK．

教師：學生能否對上面問題進行一些改變，得到新的問題？

經過思考，同學們紛紛說出自己的想法．如下面一些問題：

（1）分別以直角△ABC的三邊AB，BC，CA為邊向三角形外作三個正三角形，那么以AB為邊作的正三角形面積與以AC，BC為邊作的兩個正三角形面積之和有怎樣的大小關系？

（2）分別以直角△ABC的三邊AB，BC，CA為直徑向三角形外作三個半圓，則以AB為直徑的半圓面積與以AC，BC為直徑的兩個半圓面積之和有怎樣的大小關系？

（3）分別以銳角△ABC的三邊AB，BC，CA為邊向三角形外作三個正方形ABDE，BCFG，CAHK，那么正方形的面積SABDE與兩個正方形BCFG、CAHK的面積之和SBCFG＋SCAHK有怎樣的大小關系？

（4）分別以鈍角△ABC的三邊AB，BC，CA為邊向三角形外作三個正方形ABDE，BCFG，CAHK，那么正方形的面積SABDE與兩個正方形BCFG，CAHK的面積之和SBCFG＋SCAHK有怎樣的大小關系？

教師：對剛才大家的想法歸納一下，主要在兩方面作出改變，一是保持直角△ABC不變，分別以三邊AB，BC，CA為邊向三角形外作的圖形改變，如正三角形、半圓、……，研究它們面積關系；另一方面是保持作正方形不變，把直角△ABC換成銳角三角形、鈍角三角形、……，研究面積之間關系．從已知問題出發，只要做一些變化，就能發現很多新的問題，這一節課我們選定其中一個問題進行探究．如果把上面問題中的直角△ABC換成銳角△ABC，那么問題的結果有什么變化？

……

數學是研究空間形式和數量關系的科學，生活又是數學的源泉，人類生活的空間越來越廣闊，內容也越來越豐富，這絢麗多彩的生活正是數學的溫床． 提出問題是“知識之母”，是由未知通向已知的橋梁． 現在多數學生對日常生活中的一些數學現象熟視無睹，缺乏數學意識，不會提出問題. 而其中最常見的提問方法就是對已知問題進行變化，讓學生在已有問題基礎上，改變其中的元素或關系，出現新的問題． 在創設問題情境時，教師不應把問題框得很死，比如本課中從比較面積大小這樣的問題出發，它就比直接從勾股定理出發可以有更多點的變化，有利于培養學生從已有問題出發發現新問題的能力. 不同水平的學生都能參與到這樣的探索發現過程中來，找出不一樣的新問題. 這方面的能力和意識對學生而言，比解決一個問題更為重要，這是創新能力的核心． 其實創造性并不神秘，求異思維的沖動和能力，可以說是人人都有的與生俱來的稟賦，是人類適應各種環境的天然保障．而問題意識、問題能力可以說是創新意識、創新能力的基礎． 陶行知先生就言簡意賅地說，創造始于問題． 有了問題才會思考，有了思考，才有解決問題的方法，才有找到獨立思路的可能．

抓住本質，轉化問題

教師：我們把直角△ABC中的∠C換成銳角，請同學們考慮一下，如何比較SABDE與SBCFG＋SCAHK的大小？

學生：不妨設AB＝c，BC＝a，CA＝b，則SABDE＝c2，SBCFG＋SCAHK＝a2＋b2，要比較SABDE與SBCFG＋SCAHK的大小，只要比較c2與a2＋b2的大小．

教師：這位同學把問題轉化為用三角形的邊來表示的形式，抓住本質，化繁為簡，非常好！

……．

數學是集抽象性、邏輯性、嚴密性、精確性、想象力、創造性于一身的一門科學，其中高度的抽象性是區別于其他學科的一種重要特征． 在數學概念、原理、法則等教學中都要體現這種抽象概括能力的培養，這種能力很強，那么就容易把自己發現的問題轉化為數學問題. 在解決數學建模問題時，學生感到最困難的就是找不出實際問題中各個量之間的復雜關系的本質，從而也就不能用數學符號表示量與量之間的聯系． 在教學設計時，盡可能讓學生體驗到這種抽象的過程． 在保持了問題本質的情況下簡化問題，去除次要因素，更有利于研究． 這正是在設計時，為什么不直接要求學生比較c2與a2＋b2大小的原因，如果這樣做，就失去了對學生抽象能力的訓練． 這種透過現象、抓住本質、排除干擾、化繁為簡是推動科學向前發展的一種方法，在科學研究中發揮了很大作用． 正如歐拉解決著名的“七橋問題”那樣，拋棄了橋的長短，島和陸地的大小等非本質因素，抓住了事物間的連接關系這一個本質因素，最終找出問題的解決方案．

尋求方法，合理鋪墊

教師：當∠C為銳角時，你能否先猜一猜c2與a2＋b2的大小關系？

學生：可以通過特殊值法來猜一猜c2與a2＋b2的大小關系．例如，可以取∠C＝60°時，研究c2與a2＋b2的大小．

教師：回答的非常好，我們可以先研究一下特殊情況，請同學們自己探究一下，當∠ACB＝60°時，c2與a2＋b2的大小關系．

經過幾分鐘的思考，有如下結果：

圖3

學生：如圖3，當∠ACB＝60°，過點B作AC的垂線，垂足為D，在直角△BCD中，BC＝a，∠BCD＝60°，所以BD＝a，CD＝a． 所以AD＝b－a，在直角△ABD中，根據勾股定理，得c2＝BD2＋AD2＝a2＋b2－ab． 因為ab＞0，所以c2＜a2＋b2．

教師：怎么想到要過B作AC的垂線的呢？

學生：因為通過用垂線可以把銳角三角形轉化為直角三角形，利用直角三角形的勾股定理來解決問題．

教師：回答得非常正確，數學中解決問題有一條非常重要的策略，就是把未知的轉化為已知的，用已經得到的結論來解決未知問題． 從上面解決問題中，我們得到c2＝a2＋b2－ab． 說明c可以用a，b來表示，即用CA，CB表示AB．你還有什么方法用CA，CB表示AB嗎？

學生：在△ABC中，因為＝－．

教師：很好！用向量非常容易做到這一點，能否把向量之間關系進一步轉化為用a，b表示c的式子？

學生：兩邊平方得2＝2＋2－2#8226;，根據#8226;＝abcos∠ACB＝abcos60°＝ab，代入得c2＝a2＋b2－ab．

教師：哪位同學能簡單地說一下是如何想到這種方法的？

學生：因為，的模與夾角都已知，根據平面向量基本定理，可以用，表示，從而的模也可以用，的模表示．

教師：前面我們剛學習的向量，它不僅有幾何的直觀性，而且有代數的嚴密性，是解決幾何問題的有力工具．

?搖 ……

從特殊到一般是科學研究的重要的思維方法，數學探究也不例外，對一個問題進行研究時，我們通常會選擇特殊情況試一試，再看一看解決特殊問題的方法對一般問題是否也適用，這樣做常常更容易找到解決問題的切入點． 平時教學時，我們教師應該重視這種思維訓練，不能直接把證明方法演示給學生看一遍. 對如何想到這種方法不加辨析，這是一種重結果，輕過程的表現． 在教學中寧可少練一兩道題目，也要舍得花時間闡明問題的來龍去脈，這是真正培養學生能力的方法． 即使當堂測試效果可能不如課堂上多練幾道題的好，但長期下去，學生分析問題、解決問題的能力一定會有顯著提高． 比如江蘇省2007年、2008年的高考數學試題中，都對學生從特殊到一般的能力進行了考查，有這種研究問題方法和意識的學生很容易入手，找到解決問題的途徑，這也是新課程標準所要體現的一個重要方面．

推廣拓展，建構新知

教師：剛才通過對特殊情況的研究，得出在△ABC中，c可以用a，b，C來表示，從而得c2＜a2＋b2． 對一般情況是否也擁有類似的關系？

學生：應該也有類似的結論．

教師：有沒有什么依據，可以說明一定有這樣的關系？

學生：因為在平面幾何中，兩個三角形如果有兩邊及其夾角對應相等，那么這兩個三角形全等，一個三角形如果有兩邊及其夾角確定，那么第三邊也是確定的． 因此可以用已知的兩邊和夾角來表示． 因此，當a，b，∠ACB一定時，c邊也是一定的，即c可以用a，b，∠ACB表示．

教師：對，大家能否推導出一般情況下的結論？即在△ABC中，已知a，b，C，求c．

經過巡視后，學生基本采用解決∠ACB＝60°時的兩種方法，請兩位用不同方法解題的學生把他們的解答過程寫到黑板上．

教師：請同學們看一看這兩位同學的推導是否正確，哪一位更好一點？

學生：兩位同學的推導都對，沒有問題，都很好．

教師：是這樣的嗎？有沒有哪一位同學還有不同的看法？

經過短暫思考后，有一位學生這樣評價：

學生：用向量方法推導的更好一點，用轉化為直角三角形方法推導的過程中有一點問題，用作垂線轉化為直角三角形的方法，當∠ACB不是60°時，必須對∠ACB大小進行討論，也就是過點B作AC的垂線，要對垂足的位置進行討論．

①當C為銳角時，垂足D在線段AC上，且不與端點重合，如圖4，AD＝b－acosC，……．

②當C為直角時，垂足D與點C重合，AD＝b，……．

③當C為鈍角時，垂足D在線段AC的延長線上，如圖5，AD＝AC＋CD＝b＋acos（π－C）＝b－acosC，……．

教師：這位同學評價地非常好！過點B向AC作垂線時，當C為銳角、直角、鈍角時，垂足的位置不同，因此，要進行分類討論，不能只考慮銳角一種情況． 相比之下，向量法就顯得更為簡潔． 在△ABC中，把關系c2＝a2＋b2－2abcosC稱為余弦定理．同學們能再寫出一些類似的結論嗎？

學生：只要把上面結果中的c與b，C與B互換，得b2＝a2＋c2－2accosB． 把上面結果中的a與c，A與C互換，得a2＝b2＋c2－2bccosA．

教師：一般我們把這三個等式c2＝a2＋b2－2abcosC，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB都稱作余弦定理． 請同學們記一下它們的特征，并試一試用文字語言表述一下這個關系．

學生：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它夾角的余弦的積的兩倍．

教師：請大家考慮一下，余弦定理與勾股定理之間有什么關系？

學生：勾股定理可以看成是余弦定理的特殊情況，只要在c2＝a2＋b2－2abcosC中取C＝90°就可以得勾股定理，而余弦定理可以看成是勾股定理的推廣．

教師：余弦定理可以幫我們解決哪些問題？

學生：可以解決已知兩邊和它們的夾角，求第三邊．

學生：可以解決已知三邊，求三個角．只要把余弦定理變形成：

cosA＝，

cosB＝，

cosC＝．

……．

對特殊情況成立的結論，要推廣到一般情況也成立必須進行證明，這是數學不同于其他一些學科的地方. 有些學科可能會把實驗得來的結果當做定理公式直接應用，認為這就是一種證明，而數學是不允許這么做的，這正是數學的嚴謹、規范之所在. 對有些無法證明的正確結論或不可定義的基本概念采用公理或敘述性說明，決不模棱兩可、含糊其辭． 在證明中需要對不同情況進行分類說明的地方，也不能只選擇其中一種進行證明． 在得到一個關系后，讓學生通過類比找出其他關系，這樣一些做法的目的也就是不斷強化學生的數學意識，努力培養他們實事求是的態度、鍥而不舍的精神．

數學是人類智力的創造物，因而成為訓練人的智力、提高人的智力水平的最有效的途徑，對培養人類思維的深度、廣度而言，再沒有其他任何一門學科能與數學相比了．

教學設計中，要注意引導學生對不同的思維方法進行比較分析，提高思維的嚴密性、完整性、靈活性． 同時要讓學生學會對探究得到的結論加以總結提升，這是研究問題的重要環節． 新課標之所以突出研究性和創新意識，其目的就是在教學過程中創設一種類似科學研究的情境或途徑，讓學生在教師引導下，用類似科學研究的方式，利用已有知識和經驗，主動地去探索、發現新的問題，從而學會對信息進行收集、分析和判斷，去獲取新知識、轉化新情境、解決新問題. 通過這樣的學習，增強思考力和創造力，培養創新精神和實踐能力．