將“什么”貫穿于高中數學解題的始終

摘 要：本文從四個方面探討了如何培養學生的解題能力及提升學生的思維水平，即看清題設，弄清考查什么知識；觀察結構，思考常用什么方法；尋思點面，推敲遺漏什么細節；提煉層次，領悟掌握什么題型．

關鍵詞：高中數學；解題模型；等價轉換；觀察結構

高中數學教學的最終目的歸結為：快速培養學生的解題能力，努力提升學生數學思維水平． 這兩者應該始終貫穿于數學解題的始終，我們必須把它放在十分顯眼的位置． 那么，怎樣才能培養學生的解題能力，提升學生數學思維水平呢？從個人多年的教育教學中提煉出以下幾點，即考查什么知識，常用什么方法，注意什么細節，掌握什么題型這四個“什么”． 將四個“什么”貫穿于解題的始終，更有利于學生找準問題的切入點即所謂的題眼；更能從整體上把握一類題的解法．

看清題設，弄清考查什么知識

平時的教學過程中時刻會發現這樣的現象：學生明明知道這是錯誤的做法，但還是堅持做到最后，這究竟是為什么． 經了解，有些學生說，教師講過絕不能留有空白，尤其是填空題；但更多的是，不知道為什么，當時也看不清什么思路，更談不上什么層次感，就盡管寫著，對最終的結果也不抱有很大的希望！

說到我們教師自己，也許也經常出現這樣的局面，明明知道此類題講了，沒有效果或者說與考綱脫離，但事實上最后還是講了，而且講得很投入甚至還有教師在此基礎上進行了補充． 可以說我們每一位教師基本上都是解題高手，幾乎沒有一道題會難倒他們，除了參加備課、集體聽評課、知識周整理課之外，其余的時間還能干什么呢？休閑的空間和時間都很有限，唯一感到樂趣的只剩下“研究”考題了，一日復一日，一年復一年地這樣研究著． 誰知這樣的研究便是偏、難、怪，把自己研究的成果也拿到課堂上來，可謂講得得心應手，教師有這樣的敬業精神很是難得，也需要這樣的精神才能把學生培養成人才． 但在我們教師講授的過程中，有沒有感到一雙雙茫然的眼睛盯著你，懇求將難度降下來，將語速減下來等等．

我們決不能用自己專業的快速成長去代替學生的緩慢進步，我們要知道自己已從事多年的教育教學，整天在研究如何變換題設與結論，怎樣改設題組等工作． 而我們的學生是初次接觸新知識，初次涉及新的領域．我們應站在他們的角度重新認識事物，提出他們接受的觀點，在此基礎上糾錯他們的一些片面的認識，從而成功地去構建他們新的知識體系．

例題：若函數y=log2（ax2+（a－1）x+）的定義域為R，求實數a的取值范圍．

（*）

分析1：函數三要素（定義域、對應法則、值域）中，定義域顯得尤為重要，尤其體現在函數圖象、函數單調區間的求解過程中，只要定義域變化，函數性質隨之而改變．弄清定義域的本質，即使得表達式有意義的自變量x的取值集合，有關定義域的求解最終歸結為解不等式（組）．

觀察結構，思考常用什么方法

?搖?搖如何更有實效地解決解題過程中的核心問題，筆者認為引導學生善于觀察數學式子的結構是獲取解題方法的有效途徑． 高中數學知識比初中數學知識更具有緊密性和靈活性，它需要學者從多角度分析知識所具有的特征，尋找題眼，獲得解題突破口，擴展思維空間，使問題得以解決．

分析2：函數y=log2ax2+（a－1）x+的定義域為R，等價為不等式ax2+（a－1）x+>0對任意x∈R恒成立，?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖（1）

等價為：構建的新函數h（x）=ax2+（a－1）x+（x∈R）的圖象始終在x軸的上方． （2）

將原始問題等價轉換為不等式的恒成立問題或者函數圖象與x軸的位置關系的問題． 從結構上看（2）的函數h（x）=ax2+（a－1）x+（x∈R）的圖象很難作出，表現在真假二次函數的討論及二次函數圖象與x軸的三種情形：沒有交點，唯一交點，兩個不同交點． 根據函數、不等式之間的轉化關系可得如下解法．

略解：①當a=0時，即－x+>0，故不等式對任意自變量x不恒成立，所以a=0不符題意．

?搖?搖?搖②當a≠0時，函數h（x）=ax2+（a－1）x+（x∈R）為二次函數，可以從二次函數的圖象與x軸的位置關系考慮，即Δ判別式． 當a<0時，二次函數開口方向向下，必然存在某自變量x所對應的點（x，h（x））在x軸的下方，故a<0不符合題意；當a>0時，二次函數開口方向向上，確保二次函數圖象恒在x軸的上方，僅需Δ<0，即Δ=（a－1）2－4a#8226;<0，解得

點評提升：1． 形如y=logag（x）類型的函數性質的研究，完全可以轉化為兩個基本函數的研究，即對外函數：對數函數y=logat，內函數：真假二次函數t=ax2+（a－1）x+的研究．

2． 對此類型函數性質的研究務必緊扣內、外函數自變量的取值范圍．

警示領悟：高中數學的兩大思想方法：分類討論、數形結合應該時刻貫穿于我們的解題過程中；等價轉換的理念應時刻用來簡化繁、難結構題；用規范解題來減少不必要失誤，尤其是運算問題．?搖?搖?搖?搖

尋思點面，推敲遺漏什么細節

課堂教學要及時關注師生互動的環節，既要盡情投入課堂，又更要懂得跳出課堂，知道何時慢節奏何時快步伐． 這也是筆者經常與學生所說的，學生上課聽講是很投入的，乃至于無法自拔． 筆者很擔心這樣局面的出現，因為當學生跳不出課堂所設置的各種框架時，在面對新問題、新形勢時，帶來的必然是被淘汰的下場，所以我們在研究學問時，到達某一個關鍵點時，應該懂得及時停下來，花更少的時間檢驗重要的結論，合理巧妙地處理好題目中的若干個關鍵點，從而才能獲取更完美的結局，正所謂“懂得停下來的人更懂得如何加速”．

上述解題過程中常常被遺忘的有兩個細節：1． 真假二次的討論，即對參數a的討論． 此問題是學生更是教師頭疼的問題，無論講解多少遍，都很難達成教學的目標，關鍵問題在于學生思想觀念的轉變上，按照我們常規解題習慣，研究函數務必緊扣我們研究的究竟是什么類型的函數，此類型函數值得注意的點、面有哪些． 2． 分不清層次，亂用Δ判別式，只要一看到結構“ax2+（a－1）x+”滿腦子就呈現出Δ判別式：Δ>0，Δ=0，Δ<0三種情形，更糟糕的是三種情形的混用，所以我們在解題過程中更要重視點與面的結合，劃分解題的層次，輔助基本函數的圖象有條理地答題．

我們常說某個題目對學生來說是一個難題，難在哪兒呢？很大程度難在關鍵點、轉折點上，即隱含條件的深度與廣度．一般而言，隱含條件通常隱藏在數學的概念與性質中，或者隱藏在函數的定義域與值域之中，或者隱藏在圖形的特殊位置上，或者隱藏在知識的相互聯系之中． 因此，教學的重點應放在培養學生挖掘隱含條件的思維能力上，把命題者所要考查我們的潛在信息呈現出來，弄透考查目的，進而能夠達到由已知條件向最終結論推理的目的．

提煉層次，領悟掌握什么題型

本文主要研究的題型是有關定義域為R的問題，按照上面歸納的幾點足以得到完美解決．若將命題改為：若函數y=log2ax2+（a－1）x+的值域為R，求實數a的取值范圍． 顯然是兩個不同的題型，如若按照上面的思維一成不變地照搬可能就要出嚴重的問題，那么如何巧解此題，最關鍵的點又在哪兒呢？我們知道對數函數y=logax（a>0，且a≠1，x>0）的值域為R取決于自變量x∈（0，+∞），那我們如何去刻畫真數h（x）越來越正趨向于0，但又不等于0呢？這就是此類題的關鍵點． 我們同樣地構造新函數h（x）=ax2+（a－1）x+，目標即轉化為函數h（x）=ax2+（a－1）x+的值域記作A，即（0，+∞）?哿A．

略解：（1）當a=0時，函數h（x）=－x+，滿足（0，+∞）?哿A；

（2）當a>0時，Δ≥0，即Δ=（a－1）2－4a#8226;≥0，

解得a≤或a≥，

所以0

綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是0≤a≤或a≥．

如何準確地求解數學問題，除了具有扎實的數學基礎知識，以及明確的解題方向之外，更需要弄清條件的本質特征，以便能更好地進行邏輯整合，構建出解決問題的模型．

我們應當承認，我們的學生已經具有較為豐富的解題經驗，能將數學基礎知識、解題思想方法與問題條件進行有機組合，享受課堂成功解題的快樂． 但是，我們卻又經常聽到不少學生反映，上課聽教師講課聽得很“清楚”，但輪到自己獨自面對時，困難重重，無從入手，面對高中數學知識的深度和廣度，我們不得不時刻關注做題前的勘察，做題過程中關鍵點的檢查，做題后的反思與歸納等環節．

如果我們能夠從自己的實踐中總結出內在的規律，將解題四環節“考查什么知識，常用什么方法，注意什么細節，掌握什么題型”進行具體運用，必定茅塞頓開，疑難盡釋，就會感到解數學題不僅不是一種痛苦，而且還是一件樂事．